$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a-x^{2} & ext { si, } \quad x \leq 0 \ 2 & ext { si, } 0

Question

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a-x^{2} & 	ext { si, } \quad x \leq 0 \ 2 & 	ext { si, } 0

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La función $$ f(x) $$ está definida por partes. Para analizarla, consideremos cada caso:

1. **Para $$ x \leq 0 $$**: 
   $$
   f(x) = a - x^2
   $$
   Esta es una parábola que abre hacia abajo, desplazada verticalmente por $$ a $$.

2. **Para $$ 0 < x < 1 $$**: 
   $$
   f(x) = 2
   $$
   En este intervalo, la función es constante y vale 2.

3. **Para $$ x \geq 1 $$**: 
   $$
   f(x) = x^2 - 2x + b
   $$
   Esta es una parábola que abre hacia arriba, y se puede reescribir como $$ f(x) = (x-1)^2 + (b - 1) $$.

Para que la función sea continua en $$ x = 0 $$ y $$ x = 1 $$, debemos asegurarnos de que los límites coincidan con los valores de la función en esos puntos.

### Continuidad en $$ x = 0 $$:
Para que $$ f(x) $$ sea continua en $$ x = 0 $$:
$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = a - 0^2 = a
$$
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2
$$
Por lo tanto, para la continuidad en $$ x = 0 $$:
$$
a = 2
$$

### Continuidad en $$ x = 1 $$:
Para que $$ f(x) $$ sea continua en $$ x = 1 $$:
$$
\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 2
$$
$$
\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 2(1) + b = 1 - 2 + b = b - 1
$$
Por lo tanto, para la continuidad en $$ x = 1 $$:
$$
b - 1 = 2 \implies b = 3
$$

### Resumen:
Los valores que hacen que la función $$ f(x) $$ sea continua son:
$$
a = 2 \quad \text{y} \quad b = 3
$$
Para que la función $$ f(x) $$ sea continua, $$ a = 2 $$ y $$ b = 3 $$.

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