Найдите объем тела, полученного вращением области, ограниченной графиком функции \( y = x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = 3 \) вокруг оси абсцисс.

Чтобы найти объем тела, полученного вращением области, ограниченной графиком функции \( y = x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = 3 \) вокруг оси абсцисс, используем метод дисков. Формула для объема \( V \) выглядит следующим образом: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Где \( f(x) = x^2 \), \( a = 0 \) и \( b = 3 \). Подставляем данные в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{3} x^4 \, dx \] Теперь вычислим интеграл: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C \] Подставляем пределы интегрирования: \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} = \pi \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{243}{5} \right) \] Таким образом, объем тела равен: \[ V = \frac{243\pi}{5} \] Поэтому объем тела, полученного вращением области, равен \( \frac{243\pi}{5} \) кубических единиц.