16. Составить уравнение касательной к графику функции $$ y=3 x^{2}-7 x $$ образующей с осью $$ O x $$ угол $$ 135^{\circ} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $$ y = 3x^2 - 7x $$, которая образует угол $$ 135^\circ $$ с осью $$ O_x $$, сначала определим наклон касательной.

Угол $$ 135^\circ $$ соответствует угловому коэффициенту $$ m $$, который можно найти с помощью тангенса:
$$
m = \tan(135^\circ) = -1.
$$

Теперь найдем производную функции $$ y = 3x^2 - 7x $$, чтобы определить наклон касательной в любой точке $$ x $$:
$$
y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 7x) = 6x - 7.
$$

Для того чтобы касательная имела наклон $$ -1 $$, приравняем производную к $$ -1 $$:
$$
6x - 7 = -1.
$$
Решим это уравнение:
$$
6x = 6 \implies x = 1.
$$

Теперь найдем значение функции в точке $$ x = 1 $$:
$$
y(1) = 3(1)^2 - 7(1) = 3 - 7 = -4.
$$

Таким образом, точка касания имеет координаты $$ (1, -4) $$.

Теперь можем записать уравнение касательной, используя точку $$ (1, -4) $$ и наклон $$ -1 $$. Уравнение касательной в точке $$ (x_0, y_0) $$ с угловым коэффициентом $$ m $$ имеет вид:
$$
y - y_0 = m(x - x_0).
$$
Подставим наши значения:
$$
y - (-4) = -1(x - 1).
$$
Упростим уравнение:
$$
y + 4 = -x + 1 \implies y = -x + 1 - 4 \implies y = -x - 3.
$$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $$ y = 3x^2 - 7x $$, образующей угол $$ 135^\circ $$ с осью $$ O_x $$, имеет вид:
$$
y = -x - 3.
$$
Уравнение касательной: $$ y = -x - 3 $$.

16. Составить уравнение касательной к графику функции \( y=3 x^{2}-7 x \) образующей с осью \( O x \) угол \( 135^{\circ} \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions