7. Найдите наименьшее значение функции $$ y=4+9 x-\frac{x^{3}}{3} $$ на отрезке $$ [-5 ;-2] $$. 8. Найдите наибольшее значение функции $$ y=27 x-27 \operatorname{tg} x+43 $$ на отрезке $$ \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] $$. 9. Найдите наибольшее значение функции $$ y=\sqrt{5-4 x-x^{2}} $$. 10. Найдите наименьшее значение функции $$ y=4 x-4 \ln (x+7)+6 $$ на отрезке $$ [-6,5 ; 0] $$. 11. Найдите наименьшее значение функции $$ y=(x-9)^{2} e^{x-9} $$ на отрезке $$ [8 ; 15] $$. 12. Найдите точку минимума функции $$ y=\frac{841}{x}+x+14 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим каждую из задач по порядку.

### Задача 7
Найдем наименьшее значение функции $$ y=4+9 x-\frac{x^{3}}{3} $$ на отрезке $$ [-5, -2] $$.

1. Найдем производную функции:
   $$
   y' = 9 - x^{2}
   $$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   $$
   9 - x^{2} = 0 \implies x^{2} = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3
   $$
   Критическая точка $$ x = -3 $$ находится в пределах отрезка $$ [-5, -2] $$.

3. Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
   $$
   y(-5) = 4 + 9(-5) - \frac{(-5)^{3}}{3} = 4 - 45 + \frac{125}{3} = 4 - 45 + 41.67 \approx 0.67
   $$
   $$
   y(-3) = 4 + 9(-3) - \frac{(-3)^{3}}{3} = 4 - 27 + 9 = -14
   $$
   $$
   y(-2) = 4 + 9(-2) - \frac{(-2)^{3}}{3} = 4 - 18 + \frac{8}{3} = 4 - 18 + 2.67 \approx -11.33
   $$

4. Сравниваем значения:
   $$
   y(-5) \approx 0.67, \quad y(-3) = -14, \quad y(-2) \approx -11.33
   $$
   Наименьшее значение на отрезке $$ [-5, -2] $$ равно $$ -14 $$ при $$ x = -3 $$.

### Задача 8
Найдем наибольшее значение функции $$ y=27 x-27 \tan x+43 $$ на отрезке $$ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $$.

1. Найдем производную функции:
   $$
   y' = 27 - 27 \sec^2 x
   $$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   $$
   27 - 27 \sec^2 x = 0 \implies \sec^2 x = 1 \implies x = 0
   $$
   Критическая точка $$ x = 0 $$ находится в пределах отрезка.

3. Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
   $$
   y(0) = 27(0) - 27 \tan(0) + 43 = 43
   $$
   $$
   y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 27\left(\frac{\pi}{4}\right) - 27 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + 43 = 27\left(\frac{\pi}{4} - 1\right) + 43
   $$
   Приблизительно:
   $$
   y\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 27\left(0.785 - 1\right) + 43 \approx 27(-0.215) + 43 \approx -5.8 + 43 \approx 37.2
   $$

4. Сравниваем значения:
   $$
   y(0) = 43, \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 37.2
   $$
   Наибольшее значение на отрезке $$ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $$ равно $$ 43 $$ при $$ x = 0 $$.

### Задача 9
Найдем наибольшее значение функции $$ y=\sqrt{5-4 x-x^{2}} $$.

1. Найдем область определения:
   $$
   5 - 4x - x^2 \geq 0 \implies -x^2 - 4x + 5 \geq 0
   $$
   Решим квадратное уравнение:
   $$
   x^2 + 4x - 5 = 0 \implies (x+5)(x-1) = 0 \implies x = -5, x = 1
   $$
   Область определения: $$ x \in [-5, 1] $$.

2. Найдем производную функции:
   $$
   y' = \frac{-4 - 2x}{2\sqrt{5 - 4x - x^2}} = \frac{-2(x + 2)}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}
   $$
   Критическая точка: $$ x = -2 $$.

3. Вычислим значения функции в концах области и в критической точке:
   $$
   y(-5) = \sqrt{5 - 4(-5) - (-5)^2} = \sqrt{5 + 20 - 25} = \sqrt{0} = 0
   $$
   $$
   y(-2) = \sqrt{5 - 4(-2) - (-2)^2} = \sqrt{5 + 8 - 4} = \sqrt{9} = 3
   $$
   $$
   y(1) = \sqrt{5 - 4(1) - (1)^2} = \sqrt{5 - 4 - 1} = \sqrt{0} = 0
   $$

4. Сравниваем значения:
   $$
   y(-5) = 0, \quad y(-2) = 3, \quad y(1) = 0
   $$
   Наибольшее значение равно $$ 3 $$ при $$ x = -2 $$.

### Задача 10
Найдем наименьшее значение функции $$ y=4 x-4 \ln (x+7)+6 $$ на отрезке $$ [-6.5, 0] $$.

1. Найдем производную функции:
   $$
   y' = 4 - \frac{4}{x+7}
   $$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   $$
   4 - \frac{4}{x+7} = 0 \implies \frac{4}{x+7} = 4 \implies x + 7 = 1 \implies x = -6
   $$
   Критическая точка $$ x = -6 $$ находится в пределах отрезка.

3. Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
   $$
   y(-6.5) = 4(-6.5) - 4 \ln(0.5) + 6 = -26 - 4(-0.693) + 6 \approx -26 + 2.772 + 6 \approx -17.228
   $$
   $$
   y(-6) = 4(-6) - 4 \ln(1) + 6 = -24 + 0 + 6 = -18
   $$
   $$
   y(0) = 4(0) - 4 \ln(7) + 6 = 0 - 4 \cdot 1.946 + 6 \approx -7.784 + 6 \approx -1.784
   $$

4. Сравниваем значения:
   $$
   y(-6.5) \approx -17.228, \quad y(-6) = -18, \quad y(0) \approx -1.784
   $$
   Наименьшее значение на отрезке $$ [-6.5, 0] $$ равно $$ -18 $$ при $$ x = -6 $$.

### Задача 11
Найдем наименьшее значение функции $$ y=(x-9)^{2} e^{x-9} $$ на отрезке $$ [8, 15] $$.

1. Найдем производную функции:
   $$
   y' = 2(x-9)e^{x-9} + (x-9)^{2} e^{x-9} = e^{x-9}((x-9)(x-9) + 2(x-9)) = e^{x-9}(x-9)(x-7)
   $$
2. Критические точки:
   $$
   e^{x-9} = 0 \text{ (не имеет решений)}, \quad (x-9)(x-7) = 0 \implies x = 9 \text{ или } x = 7
   $$
   Критическая точка $$ x = 9 $$ находится в пределах отрезка.

3. Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
   \[
   y(8) = (8-9
Наименьшее значение на отрезке $$ [-5, -2] $$ равно $$ -14 $$ при $$ x = -3 $$. ### Задача 8 Наибольшее значение на отрезке $$ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $$ равно $$ 43 $$ при $$ x = 0 $$. ### Задача 9 Наибольшее значение равно $$ 3 $$ при $$ x = -2 $$. ### Задача 10 Наименьшее значение на отрезке $$ [-6.5, 0] $$ равно $$ -18 $$ при $$ x = -6 $$. ### Задача 11 Наименьшее значение на отрезке $$ [8, 15] $$ равно $$ (8-9)^{2} e^{8-9} $$ при $$ x = 9 $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions