El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=x^{2}+3 y \) \( y=x+3 \) alrededor del eje \( X \) es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas \( y = x^2 + 3 \) y \( y = x + 3 \) alrededor del eje \( X \), primero debemos determinar los puntos de intersección de las dos ecuaciones. Igualando \( x^2 + 3 = x + 3 \), obtenemos \( x^2 - x = 0 \), lo que da \( x(x - 1) = 0 \). Así que \( x = 0 \) y \( x = 1 \) son los puntos de intersección. Luego, utilizamos el método de discos para calcular el volumen: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left( (x+3)^2 - (x^2 + 3)^2 \right) dx \] Resolviendo la integral nos dará el volumen del sólido. Para ejecutar la integral correctamente, recuerda simplificar la expresión antes de integrar, ¡y no te olvides de aplicar el teorema fundamental del cálculo para evaluar la integral en los límites!