El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por
alrededor del eje es:

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Jan 20,2025

Question

El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por $$ y=x^{2}+3 y $$ $$ y=x+3 $$ alrededor del eje $$ X $$ es:

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Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas $$ y = x^2 + 3 $$ y $$ y = x + 3 $$ al girar alrededor del eje $$ X $$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Encontrar los puntos de intersección:**

Igualamos las dos ecuaciones para determinar los límites de integración:
   $$
   x^2 + 3 = x + 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = x \quad \Rightarrow \quad x(x - 1) = 0
   $$
   Por lo tanto, las soluciones son $$ x = 0 $$ y $$ x = 1 $$.

2. **Configurar la integral para el volumen usando el método de discos (o anillos):**

El volumen $$ V $$ se calcula mediante:
   $$
   V = \pi \int_{a}^{b} \left[ (f(x))^2 - (g(x))^2 \right] dx
   $$
   Donde:
   - $$ f(x) = x + 3 $$ (función superior)
   - $$ g(x) = x^2 + 3 $$ (función inferior)
   - Los límites de integración son $$ a = 0 $$ y $$ b = 1 $$.

Sustituyendo:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x + 3)^2 - (x^2 + 3)^2 \right] dx
   $$

3. **Simplificar la expresión dentro de la integral:**
   $$
   (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
   $$
   $$
   (x^2 + 3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9
   $$
   $$
   (x + 3)^2 - (x^2 + 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^4 + 6x^2 + 9) = -x^4 - 5x^2 + 6x
   $$

4. **Calcular la integral:**
   $$
   V = \pi \int_{0}^{1} (-x^4 - 5x^2 + 6x) dx = \pi \left[ -\frac{x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + 3x^2 \right]_0^1
   $$
   Evaluando en los límites:
   $$
   V = \pi \left( -\frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 3 \right) = \pi \left( -\frac{3}{15} - \frac{25}{15} + \frac{45}{15} \right) = \pi \left( \frac{17}{15} \right)
   $$

5. **Resultado final:**
   $$
   V = \frac{17}{15} \pi \ \text{unidades cúbicas}
   $$

**Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es:**
$$
V = \frac{17}{15} \pi
$$
El volumen del sólido de revolución es $$ \frac{17}{15} \pi $$ unidades cúbicas.

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