$$ \int \frac { 1 } { 1 + e ^ { x } } d x $$

Question

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Per calcolare l'integrale

$$
\int \frac{1}{1 + e^{x}} \, dx,
$$

possiamo procedere nel seguente modo.

**Passo 1: Riscrivere l'integrando**

Osserviamo che possiamo esprimere il denominatore in termini di $$ e^{-x} $$:

$$
\frac{1}{1 + e^{x}} = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}.
$$

**Passo 2: Effettuare una sostituzione**

Poniamo $$ u = 1 + e^{-x} $$. Allora, calcoliamo la derivata di $$ u $$ rispetto a $$ x $$:

$$
du = -e^{-x} \, dx \quad \Rightarrow \quad -du = e^{-x} \, dx.
$$

**Passo 3: Sostituire nell'integrale**

Sostituendo $$ u $$ e $$ du $$ nell'integrale originale, otteniamo:

$$
\int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx = \int \frac{e^{-x}}{u} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot (-du) = -\int \frac{1}{u} \, du.
$$

**Passo 4: Calcolare l'integrale semplice**

L'integrale di $$ \frac{1}{u} $$ rispetto a $$ u $$ è:

$$
- \int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C,
$$

dove $$ C $$ è la costante di integrazione.

**Passo 5: Sostituire $$ u $$ nuovamente**

Ripristiniamo $$ u = 1 + e^{-x} $$:

$$
-\ln|1 + e^{-x}| + C.
$$

**Passo 6: Semplificare ulteriormente**

Possiamo riscrivere l'espressione utilizzando proprietà dei logaritmi:

$$
-\ln(1 + e^{-x}) = x - \ln(1 + e^{x}).
$$

Pertanto, la soluzione finale dell'integrale è:

$$
\int \frac{1}{1 + e^{x}} \, dx = x - \ln(1 + e^{x}) + C,
$$

dove $$ C $$ è la costante di integrazione.
L'integrale di $$ \frac{1}{1 + e^{x}} $$ rispetto a $$ x $$ è $$ x - \ln(1 + e^{x}) + C $$, dove $$ C $$ è una costante di integrazione.

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