4. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Ursprung verläuft. Die Gleichung der Wendetangente an der Stelle $$ x=2 $$ lautet $$ t(x)=-2 x+8 $$. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades, deren Graph die $$ x $$-Achse an der Stelle $$ x=-1 $$ berührt und einen Extrempunkt $$ E(1 \mid 1) $$ aufweist. c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und den Sattelpunkt S(1|1) hat.

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a) Für eine Funktion dritten Grades, die durch den Ursprung verläuft, hat die Funktionsgleichung die Form $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$. Da der Graph durch den Ursprung verläuft, ist $$ d = 0 $$. Die Wendetangente an der Stelle $$ x=2 $$ ist gegeben durch $$ t(x) = -2x + 8 $$. Die Wendetangente ist die Tangente an den Wendepunkt, also die Stelle, an der die Funktion ihre Kurvature verändert. Die Wendetangente hat die Form $$ t(x) = f'(x) $$ bei $$ x=2 $$. Also haben wir:
$$ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$
$$ f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) + c = -2(2) + 8 $$
$$ 12a + 4b + c = 4 $$

Da der Graph durch den Ursprung verläuft, haben wir auch:
$$ f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0 $$
$$ d = 0 $$

Da wir keine weiteren Punkte haben, können wir die Gleichungen nicht weiter auflösen. Wir benötigen also noch eine weitere Bedingung, um die Funktion vollständig zu bestimmen.

b) Für eine Funktion dritten Grades, die die $$ x $$-Achse an der Stelle $$ x=-1 $$ berührt, haben wir $$ f(-1) = 0 $$. Ein Extrempunkt $$ E(1, 1) $$ bedeutet, dass $$ f(1) = 1 $$ und $$ f'(1) = 0 $$. Die Funktionsgleichung hat die Form $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$. Die Bedingungen sind:
$$ f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 0 $$
$$ -a + b - c + d = 0 $$
$$ f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 1 $$
$$ a + b + c + d = 1 $$
$$ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$
$$ f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 $$
$$ 3a + 2b + c = 0 $$

Wir haben drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Diese können gelöst werden, um die Funktion vollständig zu bestimmen.

c) Eine ganzrationale Funktion, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, hat die Form $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$, bei der $$ a \neq 0 $$ und $$ b = 0 $$, da die Symmetrie nur durch die ungeraden Potenzen von $$ x $$ erreicht wird. Ein Sattelpunkt $$ S(1, 1) $$ bedeutet, dass $$ f(1) = 1 $$ und $$ f'(1) = 0 $$. Die Bedingungen sind:
$$ f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 1 $$
$$ a + d = 1 $$
$$ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$
$$ f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 $$
$$ 3a + c = 0 $$

Wir haben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Diese können gelöst werden, um die Funktion vollständig zu bestimmen.
a) Die Funktionsgleichung der Funktion dritten Grades, die durch den Ursprung verläuft und whose turning point tangent at $$ x=2 $$ is $$ t(x)=-2x+8 $$, ist $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx $$ mit $$ d = 0 $$ und $$ 12a + 4b + c = 4 $$. b) Die Funktionsgleichung der Funktion dritten Grades, die die $$ x $$-Achse an $$ x=-1 $$ berührt und den Extrempunkt $$ E(1, 1) $$ hat, ist $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ mit $$ f(-1) = 0 $$, $$ f(1) = 1 $$, und $$ f'(1) = 0 $$. c) Die Funktionsgleichung der ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und den Sattelpunkt $$ S(1, 1) $$ hat, ist $$ f(x) = ax^3 + cx + d $$ mit $$ a \neq 0 $$, $$ b = 0 $$, $$ f(1) = 1 $$, und $$ f'(1) = 0 $$.

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