$$ \int \frac { \ln x } { \sqrt { x ^ { 3 } } } d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{Paso 1.} \quad \text{Reescribimos el integrando.}
$$

$$
\int \frac{\ln x}{\sqrt{x^3}} \, dx = \int \frac{\ln x}{x^{3/2}} \, dx.
$$

$$
\textbf{Paso 2.} \quad \text{Aplicamos la técnica de integración por partes.}
$$

Recordamos que la fórmula de integración por partes es

$$
\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du.
$$

Elijamos

$$
u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x}\,dx,
$$

$$
dv = x^{-3/2}\,dx \quad \Rightarrow \quad v = \int x^{-3/2}\,dx.
$$

Calculamos $$v$$:

$$
v = \int x^{-3/2}\,dx = \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2}.
$$

$$
\textbf{Paso 3.} \quad \text{Sustituimos en la fórmula de integración por partes.}
$$

$$
\int \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx = u \cdot v - \int v\,du = (\ln x)(-2x^{-1/2}) - \int (-2x^{-1/2})\frac{1}{x}\,dx.
$$

Simplificamos:

$$
= -\frac{2\ln x}{\sqrt{x}} + 2\int x^{-1/2-1}\,dx = -\frac{2\ln x}{\sqrt{x}} + 2\int x^{-3/2}\,dx.
$$

$$
\textbf{Paso 4.} \quad \text{Calculamos el nuevo integral.}
$$

Ya habíamos calculado anteriormente

$$
\int x^{-3/2}\,dx = -2x^{-1/2},
$$

por lo que tenemos

$$
2\int x^{-3/2}\,dx = 2(-2x^{-1/2}) = -4x^{-1/2} = -\frac{4}{\sqrt{x}}.
$$

$$
\textbf{Paso 5.} \quad \text{Escribimos la solución final.}
$$

Sustituyendo en la expresión obtenida:

$$
\int \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx = -\frac{2\ln x}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C.
$$

Esta es la solución final:

$$
\boxed{-\frac{2\ln x}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C}.
$$
La integral de $$ \frac{\ln x}{\sqrt{x^3}} $$ con respecto a $$ x $$ es $$ -\frac{2\ln x}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C $$.

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