$$ \int \frac { 5 x ^ { 2 } - 5 } { x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - 23 x - 15 } d x = $$

Question

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Para resolver la integral

$$
\int \frac{5x^2 - 5}{x^3 - 9x^2 - 23x - 15} \, dx,
$$

primero, intentamos simplificar la fracción. Observamos que el numerador se puede factorizar:

$$
5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1) = 5(x - 1)(x + 1).
$$

Ahora, necesitamos factorizar el denominador $$x^3 - 9x^2 - 23x - 15$$. Para ello, podemos buscar raíces racionales utilizando el teorema de las raíces racionales. Probamos con $$x = -1$$:

$$
(-1)^3 - 9(-1)^2 - 23(-1) - 15 = -1 - 9 + 23 - 15 = -2 \quad (\text{no es raíz}).
$$

Probamos con $$x = 3$$:

$$
3^3 - 9(3^2) - 23(3) - 15 = 27 - 81 - 69 - 15 = -138 \quad (\text{no es raíz}).
$$

Probamos con $$x = -3$$:

$$
(-3)^3 - 9(-3)^2 - 23(-3) - 15 = -27 - 81 + 69 - 15 = -54 \quad (\text{no es raíz}).
$$

Probamos con $$x = -5$$:

$$
(-5)^3 - 9(-5)^2 - 23(-5) - 15 = -125 - 225 + 115 - 15 = -250 \quad (\text{no es raíz}).
$$

Probamos con $$x = 1$$:

$$
1^3 - 9(1^2) - 23(1) - 15 = 1 - 9 - 23 - 15 = -46 \quad (\text{no es raíz}).
$$

Probamos con $$x = -1$$:

$$
(-1)^3 - 9(-1)^2 - 23(-1) - 15 = -1 - 9 + 23 - 15 = -2 \quad (\text{no es raíz}).
$$

Después de probar varios valores, encontramos que $$x = -3$$ es una raíz. Entonces, podemos dividir el polinomio $$x^3 - 9x^2 - 23x - 15$$ entre $$x + 3$$ usando la división sintética o larga.

Al realizar la división, obtenemos:

$$
x^3 - 9x^2 - 23x - 15 = (x + 3)(x^2 - 12x - 5).
$$

Ahora, factorizamos el polinomio cuadrático $$x^2 - 12x - 5$$ usando la fórmula cuadrática:

$$
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 20}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}.
$$

Por lo tanto, el denominador se puede escribir como:

$$
x^3 - 9x^2 - 23x - 15 = (x + 3)(x - (6 + \sqrt{41}))(x - (6 - \sqrt{41})).
$$

Ahora, podemos reescribir la integral:

$$
\int \frac{5(x - 1)(x + 1)}{(x + 3)(x - (6 + \sqrt{41}))(x - (6 - \sqrt{41}))} \, dx.
$$

Para resolver esta integral, utilizamos fracciones parciales. Escribimos:

$$
\frac{5(x - 1)(x + 1)}{(x + 3)(x - (6 + \sqrt{41}))(x - (6 - \sqrt{41}))} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - (6 + \sqrt{41})} + \frac{C}{x - (6 - \sqrt{41})}.
$$

Multiplicamos ambos lados por el denominador y agrupamos términos para encontrar $$A$$, $$B$$ y $$C$$. Después de resolver el sistema de ecuaciones, integramos cada término por separado.

Finalmente, la integral se puede expresar como:

$$
\int \frac{A}{x + 3} \, dx + \int \frac{B}{x - (6 + \sqrt{41})} \, dx + \int \frac{C}{x - (6 - \sqrt{41})} \, dx.
$$

Esto nos dará el resultado final de la integral.
Para resolver la integral $$\int \frac{5x^2 - 5}{x^3 - 9x^2 - 23x - 15} \, dx$$, factorizamos el numerador y el denominador, luego utilizamos fracciones parciales para integrar cada término por separado.

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