ose \( h(x)=\frac{\sin x}{2-\cos x} \) Détermine \( D h \) Démontre que \( T=2 \pi \) est une période a eetrouve la dérivée de \( h \) etson sig pose \( k(x)=(x-1)^{3}-(x-1)+3 \) ouve que \( A(1 ; 3) \) est un centre de ipose \( j(x)=x^{2}-6 x+11 \). Prouve que la droite (D) : \( x=3 \) es: étrie de \( j \).

Bien sûr, détaillons chaque partie de votre exercice étape par étape. ### 1. **Domaine de définition de \( h(x) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} \)** Pour déterminer le domaine de définition \( D_h \) de \( h(x) \), nous devons identifier les valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul. \[ 2 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 2 \] Or, \( \cos x \) est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). Ainsi, \( 2 - \cos x \) est toujours différent de zéro pour tout \( x \in \mathbb{R} \). **Conclusion :** \[ D_h = \mathbb{R} \] ### 2. **Périodicité de \( h(x) \) : \( T = 2\pi \) est une période** Pour démontrer que \( T = 2\pi \) est une période de \( h(x) \), nous devons vérifier que \( h(x + 2\pi) = h(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). Calculons \( h(x + 2\pi) \) : \[ h(x + 2\pi) = \frac{\sin(x + 2\pi)}{2 - \cos(x + 2\pi)} \] Or, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \( 2\pi \) : \[ \sin(x + 2\pi) = \sin x \] \[ \cos(x + 2\pi) = \cos x \] Ainsi, \[ h(x + 2\pi) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} = h(x) \] **Conclusion :** La fonction \( h(x) \) est périodique de période \( 2\pi \). ### 3. **Dérivée de \( h(x) \) et son signe** Pour trouver la dérivée de \( h(x) \), utilisons la règle de dérivation d'un quotient. \[ h(x) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} \] Calculons \( h'(x) \) : \[ h'(x) = \frac{(2 - \cos x) \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x}{(2 - \cos x)^2} \] \[ h'(x) = \frac{2\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(2 - \cos x)^2} \] Utilisons l'identité trigonométrique \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) : \[ h'(x) = \frac{2\cos x - (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(2 - \cos x)^2} \] \[ h'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2} \] **Signe de \( h'(x) \) :** Le dénominateur \( (2 - \cos x)^2 \) est toujours positif. Le signe de la dérivée dépend donc du numérateur \( 2\cos x - 1 \). - \( 2\cos x - 1 > 0 \) lorsque \( \cos x > \frac{1}{2} \) - \( 2\cos x - 1 = 0 \) lorsque \( \cos x = \frac{1}{2} \) - \( 2\cos x - 1 < 0 \) lorsque \( \cos x < \frac{1}{2} \) **Interprétation :** - \( h(x) \) est croissante lorsque \( \cos x > \frac{1}{2} \) (c'est-à-dire pour \( x \) dans les intervalles où \( x \) est proche de \( 0 \) modulo \( 2\pi \)). - \( h(x) \) est décroissante lorsque \( \cos x < \frac{1}{2} \) (c'est-à-dire pour \( x \) dans les intervalles où \( x \) est proche de \( \pi \) modulo \( 2\pi \)). ### 4. **Centre de \( k(x) = (x - 1)^3 - (x - 1) + 3 \)** Il semble que vous souhaitez montrer que le point \( A(1 ; 3) \) est un centre de symétrie pour la fonction \( k(x) \). Calculons \( k(1) \) : \[ k(1) = (1 - 1)^3 - (1 - 1) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \] Ainsi, \( k(1) = 3 \), donc le point \( A(1 ; 3) \) appartient au graphe de \( k \). Pour vérifier que \( A(1 ; 3) \) est un **centre de symétrie**, vérifions que \( k(1 + h) + k(1 - h) = 2 \times 3 = 6 \) pour tout \( h \). Calculons \( k(1 + h) \) et \( k(1 - h) \) : \[ k(1 + h) = ( (1 + h - 1)^3 ) - (1 + h -1) + 3 = h^3 - h + 3 \] \[ k(1 - h) = ( (1 - h -1)^3 ) - (1 - h -1) + 3 = (-h)^3 - (-h) + 3 = -h^3 + h + 3 \] Additionnons les deux expressions : \[ k(1 + h) + k(1 - h) = h^3 - h + 3 - h^3 + h + 3 = 6 \] Ainsi, pour tout \( h \), \( k(1 + h) + k(1 - h) = 6 \). **Conclusion :** Le point \( A(1 ; 3) \) est un centre de symétrie pour la fonction \( k(x) \). ### 5. **Axe de symétrie de \( j(x) = x^2 - 6x + 11 \) et la droite \( (D) : x = 3 \)** Pour une fonction quadratique de la forme \( j(x) = ax^2 + bx + c \), l'axe de symétrie est donné par : \[ x = -\frac{b}{2a} \] Dans notre cas, \( a = 1 \) et \( b = -6 \). \[ x = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \] La droite \( (D) : x = 3 \) est donc l'axe de symétrie de la parabole représentée par \( j(x) \). **Conclusion :** La droite \( (D) : x = 3 \) est l'axe de symétrie de la fonction \( j(x) = x^2 - 6x + 11 \).