ose $$ h(x)=\frac{\sin x}{2-\cos x} $$ Détermine $$ D h $$ Démontre que $$ T=2 \pi $$ est une période a eetrouve la dérivée de $$ h $$ etson sig pose $$ k(x)=(x-1)^{3}-(x-1)+3 $$ ouve que $$ A(1 ; 3) $$ est un centre de ipose $$ j(x)=x^{2}-6 x+11 $$. Prouve que la droite (D) : $$ x=3 $$ es: étrie de $$ j $$.

Question

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Bien sûr, détaillons chaque partie de votre exercice étape par étape. ### 1. **Domaine de définition de $$ h(x) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} $$** Pour déterminer le domaine de définition $$ D_h $$ de $$ h(x) $$, nous devons identifier les valeurs de $$ x $$ pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul. $$ 2 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 2 $$ Or, $$ \cos x $$ est toujours compris entre $$-1$$ et $$1$$. Ainsi, $$ 2 - \cos x $$ est toujours différent de zéro pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$. **Conclusion :** $$ D_h = \mathbb{R} $$ ### 2. **Périodicité de $$ h(x) $$ : $$ T = 2\pi $$ est une période** Pour démontrer que $$ T = 2\pi $$ est une période de $$ h(x) $$, nous devons vérifier que $$ h(x + 2\pi) = h(x) $$ pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$. Calculons $$ h(x + 2\pi) $$ : $$ h(x + 2\pi) = \frac{\sin(x + 2\pi)}{2 - \cos(x + 2\pi)} $$ Or, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $$ 2\pi $$ : $$ \sin(x + 2\pi) = \sin x $$ $$ \cos(x + 2\pi) = \cos x $$ Ainsi, $$ h(x + 2\pi) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} = h(x) $$ **Conclusion :** La fonction $$ h(x) $$ est périodique de période $$ 2\pi $$. ### 3. **Dérivée de $$ h(x) $$ et son signe** Pour trouver la dérivée de $$ h(x) $$, utilisons la règle de dérivation d'un quotient. $$ h(x) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} $$ Calculons $$ h'(x) $$ : $$ h'(x) = \frac{(2 - \cos x) \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x}{(2 - \cos x)^2} $$ $$ h'(x) = \frac{2\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(2 - \cos x)^2} $$ Utilisons l'identité trigonométrique $$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$ : $$ h'(x) = \frac{2\cos x - (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(2 - \cos x)^2} $$ $$ h'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2} $$ **Signe de $$ h'(x) $$ :** Le dénominateur $$ (2 - \cos x)^2 $$ est toujours positif. Le signe de la dérivée dépend donc du numérateur $$ 2\cos x - 1 $$. - $$ 2\cos x - 1 > 0 $$ lorsque $$ \cos x > \frac{1}{2} $$ - $$ 2\cos x - 1 = 0 $$ lorsque $$ \cos x = \frac{1}{2} $$ - $$ 2\cos x - 1 < 0 $$ lorsque $$ \cos x < \frac{1}{2} $$ **Interprétation :** - $$ h(x) $$ est croissante lorsque $$ \cos x > \frac{1}{2} $$ (c'est-à-dire pour $$ x $$ dans les intervalles où $$ x $$ est proche de $$ 0 $$ modulo $$ 2\pi $$). - $$ h(x) $$ est décroissante lorsque $$ \cos x < \frac{1}{2} $$ (c'est-à-dire pour $$ x $$ dans les intervalles où $$ x $$ est proche de $$ \pi $$ modulo $$ 2\pi $$). ### 4. **Centre de $$ k(x) = (x - 1)^3 - (x - 1) + 3 $$** Il semble que vous souhaitez montrer que le point $$ A(1 ; 3) $$ est un centre de symétrie pour la fonction $$ k(x) $$. Calculons $$ k(1) $$ : $$ k(1) = (1 - 1)^3 - (1 - 1) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 $$ Ainsi, $$ k(1) = 3 $$, donc le point $$ A(1 ; 3) $$ appartient au graphe de $$ k $$. Pour vérifier que $$ A(1 ; 3) $$ est un **centre de symétrie**, vérifions que $$ k(1 + h) + k(1 - h) = 2 \times 3 = 6 $$ pour tout $$ h $$. Calculons $$ k(1 + h) $$ et $$ k(1 - h) $$ : $$ k(1 + h) = ( (1 + h - 1)^3 ) - (1 + h -1) + 3 = h^3 - h + 3 $$ $$ k(1 - h) = ( (1 - h -1)^3 ) - (1 - h -1) + 3 = (-h)^3 - (-h) + 3 = -h^3 + h + 3 $$ Additionnons les deux expressions : $$ k(1 + h) + k(1 - h) = h^3 - h + 3 - h^3 + h + 3 = 6 $$ Ainsi, pour tout $$ h $$, $$ k(1 + h) + k(1 - h) = 6 $$. **Conclusion :** Le point $$ A(1 ; 3) $$ est un centre de symétrie pour la fonction $$ k(x) $$. ### 5. **Axe de symétrie de $$ j(x) = x^2 - 6x + 11 $$ et la droite $$ (D) : x = 3 $$** Pour une fonction quadratique de la forme $$ j(x) = ax^2 + bx + c $$, l'axe de symétrie est donné par : $$ x = -\frac{b}{2a} $$ Dans notre cas, $$ a = 1 $$ et $$ b = -6 $$. $$ x = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 $$ La droite $$ (D) : x = 3 $$ est donc l'axe de symétrie de la parabole représentée par $$ j(x) $$. **Conclusion :** La droite $$ (D) : x = 3 $$ est l'axe de symétrie de la fonction $$ j(x) = x^2 - 6x + 11 $$. **Domaine de définition :** $$ D_h = \mathbb{R} $$ La fonction $$ h(x) $$ est définie pour tous les réels $$ x $$. **Périodicité :** $$ T = 2\pi $$ est une période de $$ h(x) $$ car $$ h(x + 2\pi) = h(x) $$ pour tout $$ x $$. **Dérivée de $$ h(x) $$ :** $$ h'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2} $$ La dérivée est positive lorsque $$ \cos x > \frac{1}{2} $$ et négative lorsque $$ \cos x < \frac{1}{2} $$. **Centre de symétrie de $$ k(x) $$ :** Le point $$ A(1 ; 3) $$ est un centre de symétrie pour $$ k(x) $$ car $$ k(1 + h) + k(1 - h) = 6 $$ pour tout $$ h $$. **Axe de symétrie de $$ j(x) $$ :** La droite $$ x = 3 $$ est l'axe de symétrie de $$ j(x) = x^2 - 6x + 11 $$.

ose
Détermine
Démontre que est une période a
eetrouve la dérivée de etson sig
pose
ouve que est un centre de
ipose .
Prouve que la droite
(D) : es:
étrie de .

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Solución

1. Domaine de définition de

2. Périodicité de : est une période

3. Dérivée de et son signe

4. Centre de

5. Axe de symétrie de et la droite

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ose Détermine Démontre que est une période a eetrouve la dérivée de etson sig pose ouve que est un centre de ipose . Prouve que la droite (D) : es: étrie de .