\( 18 y ^ { \prime \prime \prime } + 21 y ^ { \prime \prime } + 14 y ^ { \prime } + 4 y = 0 \)

เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอนุกรมแบบสมมาตรให้ได้คำตอบทั่วไป: \[ 18 y''' + 21 y'' + 14 y' + 4 y = 0 \] **ขั้นตอนที่ 1: เขียนสมการลักษณะ (Characteristic Equation)** สมการลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือ: \[ 18 r^3 + 21 r^2 + 14 r + 4 = 0 \] **ขั้นตอนที่ 2: หาค่ารากของสมการลักษณะ** เราจะหาค่าของ \( r \) ที่ทำให้สมการลักษณะเป็นจริง โดยใช้วิธีหารผลร่วม (Rational Root Theorem) เพื่อลองค่าที่เป็นไปได้: ลอง \( r = -\frac{1}{2} \): \[ 18 \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 21 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 14 \left(-\frac{1}{2}\right) + 4 = 0 \] คำนวณได้ว่า \( r = -\frac{1}{2} \) เป็นรากหนึ่งของสมการ **ขั้นตอนที่ 3: แยกสมการลักษณะออกเป็นปัจจัย** เนื่องจาก \( r = -\frac{1}{2} \) เป็นรากหนึ่ง เราสาสามารถแยกสมการลักษณะได้ดังนี้: \[ 18 r^3 + 21 r^2 + 14 r + 4 = \left(2r + 1\right) \left(9 r^2 + 6 r + 4\right) \] **ขั้นตอนที่ 4: หาค่ารากของสมการส่วนที่เหลือ** แก้สมการควอดราติก: \[ 9 r^2 + 6 r + 4 = 0 \] ใช้สูตรคำนวณรากของสมการควอดราติก: \[ r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 144}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{-108}}{18} \] \[ r = \frac{-6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{-1}{3} \pm \frac{\sqrt{3}}{3} i \] **ขั้นตอนที่ 5: เขียนคำตอบทั่วไป** จากรากที่ได้ เราสามารถเขียนคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เป็น: \[ y(t) = C_1 e^{-\frac{1}{2} t} + e^{-\frac{1}{3} t} \left( C_2 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{3} t\right) + C_3 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{3} t\right) \right) \] โดยที่ \( C_1 \), \( C_2 \), และ \( C_3 \) เป็นค่าคงที่ตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด