Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen \( \mathrm{E}: 6 x_{1}-3 x_{2}+6 x_{3}=-6 \) und \( \mathrm{F}:-12 x_{1}+6 x_{2}-12 x_{3}=174 \) Berechne ggf. den Abstand.

Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen \(\mathrm{E}\) und \(\mathrm{F}\) zu untersuchen, sowie den Abstand zwischen ihnen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: **Gegebene Ebenen:** \[ \begin{align*} \mathrm{E}: \quad 6x_{1} - 3x_{2} + 6x_{3} &= -6 \\ \mathrm{F}: \quad -12x_{1} + 6x_{2} - 12x_{3} &= 174 \end{align*} \] **1. Überprüfung der Parallelität:** Zuerst vergleichen wir die Normalenvektoren der beiden Ebenen: - Normalenvektor von \(\mathrm{E}\): \(\vec{n}_{\mathrm{E}} = (6, -3, 6)\) - Normalenvektor von \(\mathrm{F}\): \(\vec{n}_{\mathrm{F}} = (-12, 6, -12)\) Es fällt auf, dass \(\vec{n}_{\mathrm{F}} = -2 \cdot \vec{n}_{\mathrm{E}}\). Da die Richtungen der Normalenvektoren gleich sind (nur skalare Vielfache voneinander), sind die Ebenen parallel. **2. Bestimmung des Abstands zwischen den parallelen Ebenen:** Der Abstand \(d\) zwischen zwei parallelen Ebenen \(\mathrm{E}\) und \(\mathrm{F}\) mit derselben Normalenrichtung lässt sich mit der Formel berechnen: \[ d = \frac{|D_{\mathrm{F}} - D_{\mathrm{E}}|}{\|\vec{n}\|} \] wobei \(D_{\mathrm{E}}\) und \(D_{\mathrm{F}}\) die rechten Seiten der Ebenengleichungen sind und \(\|\vec{n}\|\) die Norm des Normalenvektors ist. Um die Formel anwenden zu können, bringen wir beide Ebenen auf dieselbe Normalenrichtung. Teilen wir die Ebenengleichung \(\mathrm{F}\) durch \(-2\): \[ \mathrm{F}: \quad 6x_{1} - 3x_{2} + 6x_{3} = -87 \] Jetzt haben beide Ebenen die gleiche Normalenform: \[ \begin{align*} \mathrm{E}: \quad 6x_{1} - 3x_{2} + 6x_{3} &= -6 \\ \mathrm{F}: \quad 6x_{1} - 3x_{2} + 6x_{3} &= -87 \end{align*} \] Setzen wir die Werte in die Abstandsgleichung ein: \[ d = \frac{|-87 - (-6)|}{\sqrt{6^{2} + (-3)^{2} + 6^{2}}} = \frac{| -81 |}{\sqrt{36 + 9 + 36}} = \frac{81}{\sqrt{81}} = \frac{81}{9} = 9 \] **Ergebnis:** Die Ebenen \(\mathrm{E}\) und \(\mathrm{F}\) sind parallel und voneinander um einen Abstand von **9 Einheiten** getrennt.