Hallar una función \( f \) un numero \( a \) tal que \[ \text { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-8 \]

Para resolver la ecuación \[ \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = x^{2} - 8, \] seguimos los siguientes pasos: 1. **Diferenciación con respecto a \( x \):** Aplicamos el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena: \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt \right) = \frac{(2x)^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = \frac{8x^{2}}{(f(2x))^{3}}. \] Por otro lado, la derivada de la parte derecha es: \[ \frac{d}{dx} (x^{2} - 8) = 2x. \] Igualando ambas derivadas: \[ \frac{8x^{2}}{(f(2x))^{3}} = 2x \quad \Rightarrow \quad (f(2x))^{3} = \frac{8x^{2}}{2x} = 4x. \] Por lo tanto: \[ f(2x) = \sqrt[3]{4x} \quad \Rightarrow \quad f(t) = \sqrt[3]{2t}. \] Simplificando: \[ f(t) = 2^{1/3} \cdot t^{1/3}. \] 2. **Determinación de \( a \):** Sustituimos \( f(t) \) en la integral original: \[ \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(2^{1/3} t^{1/3})^{3}} \, dt = \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{2 t} \, dt = \frac{1}{2} \int_{a}^{2x} t \, dt. \] Calculamos la integral: \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{(2x)^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} \right] = \frac{1}{4} (4x^{2} - a^{2}) = x^{2} - \frac{a^{2}}{4}. \] Igualando con la parte derecha de la ecuación original: \[ x^{2} - \frac{a^{2}}{4} = x^{2} - 8 \quad \Rightarrow \quad \frac{a^{2}}{4} = 8 \quad \Rightarrow \quad a^{2} = 32 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 4\sqrt{2}. \] Generalmente, se toma \( a \) como positivo, por lo que: \[ a = 4\sqrt{2}. \] **Respuesta Final:** \[ f(t) = 2^{1/3} \, t^{1/3} \quad \text{y} \quad a = 4\sqrt{2}. \]