Hallar una función $$ f $$ un numero $$ a $$ tal que $$ \text { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-8 $$

Question

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Para resolver la ecuación
$$
\int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = x^{2} - 8,
$$
seguimos los siguientes pasos:

1. **Diferenciación con respecto a $$ x $$:**

Aplicamos el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena:
   $$
   \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt \right) = \frac{(2x)^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = \frac{8x^{2}}{(f(2x))^{3}}.
   $$
   
   Por otro lado, la derivada de la parte derecha es:
   $$
   \frac{d}{dx} (x^{2} - 8) = 2x.
   $$
   
   Igualando ambas derivadas:
   $$
   \frac{8x^{2}}{(f(2x))^{3}} = 2x \quad \Rightarrow \quad (f(2x))^{3} = \frac{8x^{2}}{2x} = 4x.
   $$
   
   Por lo tanto:
   $$
   f(2x) = \sqrt[3]{4x} \quad \Rightarrow \quad f(t) = \sqrt[3]{2t}.
   $$
   Simplificando:
   $$
   f(t) = 2^{1/3} \cdot t^{1/3}.
   $$

2. **Determinación de $$ a $$:**

Sustituimos $$ f(t) $$ en la integral original:
   $$
   \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(2^{1/3} t^{1/3})^{3}} \, dt = \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{2 t} \, dt = \frac{1}{2} \int_{a}^{2x} t \, dt.
   $$
   
   Calculamos la integral:
   $$
   \frac{1}{2} \left[ \frac{(2x)^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} \right] = \frac{1}{4} (4x^{2} - a^{2}) = x^{2} - \frac{a^{2}}{4}.
   $$
   
   Igualando con la parte derecha de la ecuación original:
   $$
   x^{2} - \frac{a^{2}}{4} = x^{2} - 8 \quad \Rightarrow \quad \frac{a^{2}}{4} = 8 \quad \Rightarrow \quad a^{2} = 32 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 4\sqrt{2}.
   $$
   
   Generalmente, se toma $$ a $$ como positivo, por lo que:
   $$
   a = 4\sqrt{2}.
   $$

**Respuesta Final:**
$$
f(t) = 2^{1/3} \, t^{1/3} \quad \text{y} \quad a = 4\sqrt{2}.
$$
La función $$ f(t) $$ es $$ \sqrt[3]{2t} $$ y el número $$ a $$ es $$ 4\sqrt{2} $$.

Hallar una función un numero tal que

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