La derivada de la función $$ y=\frac{2 x+1}{x^{2}-1} $$ es: o a. $$ \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{2 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} $$ b. $$ \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} $$ c. $$ \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{2\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} $$ d. $$ \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{-2\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} $$

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Para encontrar la derivada de la función $$ y = \frac{2x + 1}{x^2 - 1} $$, utilizaremos la regla del cociente. La regla del cociente establece que si tenemos una función de la forma $$ y = \frac{u}{v} $$, donde $$ u = 2x + 1 $$ y $$ v = x^2 - 1 $$, la derivada se calcula como:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}
$$

Primero, calculamos las derivadas de $$ u $$ y $$ v $$:

1. $$ u = 2x + 1 $$ 
   - $$ \frac{du}{dx} = 2 $$

2. $$ v = x^2 - 1 $$ 
   - $$ \frac{dv}{dx} = 2x $$

Ahora, aplicamos la regla del cociente:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 1)(2) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}
$$

Simplificamos el numerador:

$$
= \frac{2(x^2 - 1) - 2x(2x + 1)}{(x^2 - 1)^2}
$$
$$
= \frac{2x^2 - 2 - (4x^2 + 2x)}{(x^2 - 1)^2}
$$
$$
= \frac{2x^2 - 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2}
$$
$$
= \frac{-2x^2 - 2x - 2}{(x^2 - 1)^2}
$$
$$
= \frac{-2(x^2 + x + 1)}{(x^2 - 1)^2}
$$

Por lo tanto, la derivada de la función es:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x^2 + x + 1)}{(x^2 - 1)^2}
$$

La respuesta correcta es la opción **d**:

$$
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{-2(x^2 + x + 1)}{(x^2 - 1)^2}
$$
La derivada de la función $$ y = \frac{2x + 1}{x^2 - 1} $$ es $$ \frac{-2(x^2 + x + 1)}{(x^2 - 1)^2} $$. La respuesta correcta es la opción d.

La derivada de la función es:
o a.
b.
c.
d.

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La derivada de la función es: o a. b. c. d.