6. Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13.5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcular las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.

Question

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Para resolver el problema de optimización de las dimensiones del depósito, seguiremos los pasos detallados a continuación:

### **Datos:**
- **Volumen del depósito (V):** 13.5 m³
- **Forma del depósito:** Base cuadrada con paredes verticales y sin tapa.
- **Objetivo:** Minimizar el gasto en chapa de acero, es decir, minimizar el área total utilizada.

### **Variables:**
- **x:** Longitud de un lado de la base cuadrada (en metros).
- **h:** Altura de las paredes verticales (en metros).

### **Relaciones:**
1. **Volumen del depósito:**
   $$
   V = x^2 \cdot h = 13.5 \, \text{m}³
   $$
   De aquí, podemos expresar la altura $$ h $$ en función de $$ x $$:
   $$
   h = \frac{13.5}{x^2}
   $$

2. **Área total de chapa utilizada (A):**
   $$
   A = \text{Área de la base} + \text{Área de las paredes}
   $$
   - Área de la base: $$ x^2 $$
   - Área de las cuatro paredes: $$ 4 \cdot x \cdot h $$
   
   Sustituyendo $$ h $$:
   $$
   A(x) = x^2 + 4x \left( \frac{13.5}{x^2} \right) = x^2 + \frac{54}{x}
   $$

### **Optimización:**
Queremos encontrar el valor de $$ x $$ que minimiza $$ A(x) $$.

1. **Derivada de $$ A(x) $$ respecto a $$ x $$:**
   $$
   A'(x) = 2x - \frac{54}{x^2}
   $$

2. **Encontramos el punto crítico resolviendo $$ A'(x) = 0 $$:**
   $$
   2x - \frac{54}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^3 = 54 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 27 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \, \text{m}
   $$

3. **Calculamos la altura $$ h $$:**
   $$
   h = \frac{13.5}{x^2} = \frac{13.5}{9} = 1.5 \, \text{m}
   $$

### **Conclusión:**
Las dimensiones óptimas del depósito para minimizar el gasto en chapa de acero son:

- **Base cuadrada:** 3 metros por 3 metros.
- **Altura de las paredes:** 1.5 metros.

Esta configuración garantiza que el depósito cumpla con el volumen requerido de 13.5 m³ utilizando la menor cantidad posible de material.

### **Resumen:**
- **Longitud de la base (x):** 3 m
- **Altura de las paredes (h):** 1.5 m

**Respuesta Final:**

Para minimizar el gasto, el depósito debe tener una base cuadrada de 3 metros de lado y paredes de 1,5 metros de altura.
To minimize the cost of the steel sheet, the deposit should have a square base of 3 meters on each side and walls that are 1.5 meters high.

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad
para 13.5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcular
las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el
menor posible.

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