\( y ^ { ( 4 ) } ( t ) - 2 y ^ { \prime \prime } ( t ) + y ( t ) = 0 \)

La ecuación diferencial que has proporcionado es: \[ y^{(4)}(t) - 2y''(t) + y(t) = 0 \] Para resolver esta ecuación, podemos asumir una solución de la forma \( y(t) = e^{rt} \), donde \( r \) es una constante que debemos determinar. Al sustituir esta forma en la ecuación, obtenemos: \[ r^4 e^{rt} - 2r^2 e^{rt} + e^{rt} = 0 \] Factorizando \( e^{rt} \) (que nunca es cero), tenemos: \[ r^4 - 2r^2 + 1 = 0 \] Ahora, podemos hacer un cambio de variable, dejando \( u = r^2 \). Entonces, la ecuación se convierte en: \[ u^2 - 2u + 1 = 0 \] Esto se puede factorizar como: \[ (u - 1)^2 = 0 \] Por lo tanto, \( u = 1 \), lo que implica que: \[ r^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad r = \pm 1 \] Esto nos da las raíces \( r = 1 \) y \( r = -1 \). Dado que ambas raíces son reales y tienen multiplicidad 2, la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} + C_3 t e^t + C_4 t e^{-t} \] donde \( C_1, C_2, C_3 \) y \( C_4 \) son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.