\begin{tabular}{|l} Aufgabe: (2 Punkte) \\ Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -4\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \\ \( x_{1}+10 x_{2}+5 x_{3}=20 \). \\ \( \mathrm{D}(\square) \square \mathrm{O} \)\end{tabular}

Um den **Durchstoßpunkt** der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: **Gegeben:** \[ \mathrm{g}: \vec{x} = \begin{pmatrix}10 \\ 11 \\ 8\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0 \\ -5 \\ -4\end{pmatrix} \] \[ \mathrm{E}: x_{1} + 10x_{2} + 5x_{3} = 20 \] **Schritte zur Berechnung:** 1. **Parametergleichung der Geraden auflösen:** \[ \begin{cases} x_{1} = 10 \\ x_{2} = 11 - 5t \\ x_{3} = 8 - 4t \end{cases} \] 2. **In Gleichung der Ebene einsetzen:** \[ 10 + 10(11 - 5t) + 5(8 - 4t) = 20 \] 3. **Ausmultiplizieren und zusammenfassen:** \[ 10 + 110 - 50t + 40 - 20t = 20 \\ 160 - 70t = 20 \] 4. **Nach \( t \) auflösen:** \[ -70t = 20 - 160 \\ -70t = -140 \\ t = 2 \] 5. **Wert von \( t \) in die Geradengleichung einsetzen, um den Durchstoßpunkt zu finden:** \[ \begin{cases} x_{1} = 10 \\ x_{2} = 11 - 5 \cdot 2 = 1 \\ x_{3} = 8 - 4 \cdot 2 = 0 \end{cases} \] **Ergebnis:** Der Durchstoßpunkt \( \mathrm{D} \) ist: \[ \mathrm{D} = \begin{pmatrix}10 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \]