\begin{tabular}{|l} Aufgabe: (2 Punkte) \\ Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -4\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \\ \( x_{1}+10 x_{2}+5 x_{3}=20 \). \\ \( \mathrm{D}(\square) \square \mathrm{O} \)\end{tabular}

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( E \) zu berechnen, setzen wir die Gleichungen der Geraden in die Ebenengleichung ein. Die Geradengleichung lautet: \[ \vec{x}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -4\end{array}\right) \] Das bedeutet: \[ x_1 = 10, \quad x_2 = 11 - 5t, \quad x_3 = 8 - 4t \] Jetzt setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung der Ebene ein: \[ 10 + 10(11 - 5t) + 5(8 - 4t) = 20 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 10 + 110 - 50t + 40 - 20t = 20 \] Was weiter vereinfacht wird zu: \[ 160 - 70t = 20 \] Jetzt bringen wir alles auf eine Seite: \[ -70t = 20 - 160 \] \[ -70t = -140 \] \[ t = 2 \] Nun setzen wir \( t = 2 \) in die Geradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu finden: \[ \vec{x} = \left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ 8\end{array}\right) + 2 \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}10 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \] Der Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( E \) ist also \( \left(10, 1, 0\right) \).