EXERCICE 06 I-Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ par : $$ g(x)=2 \sqrt{x}-2-\ln x $$ 1) Montrer que: $$ g^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(\sqrt{x}+1)} $$ pour tout $$ \left.x \in\right] 0 ;+\infty[ $$

Question

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Pour montrer que $$ g^{\prime}(x) = \frac{x-1}{x(\sqrt{x}+1)} $$ pour tout $$ x \in ]0; +\infty[ $$, nous allons d'abord calculer la dérivée de la fonction $$ g(x) = 2\sqrt{x} - 2 - \ln x $$.

1. **Calcul de la dérivée de $$ g(x) $$** :

La fonction $$ g(x) $$ est composée de trois termes : $$ 2\sqrt{x} $$, $$ -2 $$ et $$ -\ln x $$.

- La dérivée de $$ 2\sqrt{x} $$ est :
     $$
     \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}.
     $$

- La dérivée de $$ -2 $$ est :
     $$
     \frac{d}{dx}(-2) = 0.
     $$

- La dérivée de $$ -\ln x $$ est :
     $$
     \frac{d}{dx}(-\ln x) = -\frac{1}{x}.
     $$

En combinant ces résultats, nous avons :
   $$
   g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x}.
   $$

2. **Mise sous forme commune** :

Pour simplifier $$ g'(x) $$, nous allons mettre les deux termes sous un dénominateur commun. Le dénominateur commun de $$ \sqrt{x} $$ et $$ x $$ est $$ x\sqrt{x} $$.

Ainsi, nous avons :
   $$
   g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{x}{x\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} = \frac{x - \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}.
   $$

Nous pouvons réécrire $$ \sqrt{x} $$ comme $$ x^{1/2} $$, donc :
   $$
   g'(x) = \frac{x - x^{1/2}}{x \cdot x^{1/2}} = \frac{x - \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}.
   $$

3. **Facteur commun** :

Nous pouvons factoriser le numérateur :
   $$
   g'(x) = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{x\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{x\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{x\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{x\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{x(\sqrt{x} + 1)}.
   $$

En effet, nous avons utilisé le fait que $$ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) = x - 1 $$.

4. **Conclusion** :

Nous avons donc montré que :
   $$
   g'(x) = \frac{x - 1}{x(\sqrt{x} + 1)}.
   $$

Ainsi, la dérivée de $$ g(x) $$ est bien $$ g'(x) = \frac{x - 1}{x(\sqrt{x} + 1)} $$ pour tout $$ x \in ]0; +\infty[ $$.
Pour montrer que $$ g^{\prime}(x) = \frac{x-1}{x(\sqrt{x}+1)} $$ pour tout $$ x \in ]0; +\infty[ $$, calculons la dérivée de $$ g(x) = 2\sqrt{x} - 2 - \ln x $$. La dérivée de $$ 2\sqrt{x} $$ est $$ \frac{1}{\sqrt{x}} $$, de $$ -2 $$ est 0, et de $$ -\ln x $$ est $$ -\frac{1}{x} $$. Combinant ces résultats, nous obtenons $$ g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} $$. En mettant sous forme commune et en factorisant, nous arrivons à $$ g'(x) = \frac{x - 1}{x(\sqrt{x} + 1)} $$.

EXERCICE 06 I-Soit \( g \) la fonction définie sur \( ] 0 ;+\infty[ \) par : \[ g(x)=2 \sqrt{x}-2-\ln x \] 1) Montrer que: \( g^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(\sqrt{x}+1)} \) pour tout \( \left.x \in\right] 0 ;+\infty[ \)

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