16 Encontre $$ d y / d x $$ e $$ d^{2} y / d x^{2} $$. Para quais valores de $$ t $$ a curva ncava para cima? 12. $$ x=t^{3}-12 t, \quad y=t^{2}-1 $$

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Para resolver o problema dado, seguiremos os seguintes passos: 1. **Encontrar as derivadas $$ \frac{dy}{dx} $$ e $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$ usando as equações paramétricas.** 2. **Determinar para quais valores de $$ t $$ a curva é côncava para cima, ou seja, quando $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} > 0 $$.** ## 1. Encontrar $$ \frac{dy}{dx} $$ e $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$ Dadas as equações paramétricas: $$ x = t^{3} - 12t \ y = t^{2} - 1 $$ Primeiro, calculamos as derivadas em relação a $$ t $$: $$ \frac{dx}{dt} = 3t^{2} - 12 \ \frac{dy}{dt} = 2t $$ ### a) Cálculo de $$ \frac{dy}{dx} $$ A derivada $$ \frac{dy}{dx} $$ é dada por: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2t}{3t^{2} - 12} = \frac{2t}{3(t^{2} - 4)} = \frac{2t}{3(t - 2)(t + 2)} $$ ### b) Cálculo de $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$ Para encontrar a segunda derivada, usamos a fórmula: $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \div \frac{dx}{dt} $$ Primeiro, encontramos $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) $$: $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{2t}{3t^{2} - 12}\right) = \frac{2 \cdot (3t^{2} - 12) - 2t \cdot (6t)}{(3t^{2} - 12)^{2}} = \frac{6t^{2} - 24 - 12t^{2}}{(3t^{2} - 12)^{2}} = \frac{-6t^{2} - 24}{(3t^{2} - 12)^{2}} = \frac{-6(t^{2} + 4)}{9(t^{2} - 4)^{2}}} \ = \frac{-2(t^{2} + 4)}{3(t^{2} - 4)^{2}} $$ Então, a segunda derivada fica: $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-2(t^{2} + 4)}{3(t^{2} - 4)^{2}} \div (3t^{2} - 12) = \frac{-2(t^{2} + 4)}{3(t^{2} - 4)^{2}}} \cdot \frac{1}{3(t^{2} - 4)} = \frac{-2(t^{2} + 4)}{9(t^{2} - 4)^{3}} $$ Portanto: $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-2(t^{2} + 4)}{9(t^{2} - 4)^{3}} $$ ## 2. Determinar para quais valores de $$ t $$ a curva é côncava para cima A concavidade da curva está relacionada ao sinal da segunda derivada $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$: - **Côncava para cima** quando $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} > 0 $$. - **Côncava para baixo** quando $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} < 0 $$. Analisando a expressão de $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$: $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-2(t^{2} + 4)}{9(t^{2} - 4)^{3}} $$ Vamos determinar o sinal dessa expressão para diferentes valores de $$ t $$. ### a) Numerador: $$ -2(t^{2} + 4) $$ O termo $$ t^{2} + 4 $$ é sempre positivo, já que $$ t^{2} \geq 0 $$ e $$ 4 > 0 $$. Portanto, o numerador é sempre negativo: $$ -2(t^{2} + 4) < 0 \quad \text{para todo } t $$ ### b) Denominador: $$ 9(t^{2} - 4)^{3} $$ O denominador depende do valor de $$ t $$: - **Quando $$ |t| > 2 $$:** $$ t^{2} - 4 > 0 $$ ⇒ $$ (t^{2} - 4)^{3} > 0 $$ - **Quando $$ |t| < 2 $$:** $$ t^{2} - 4 < 0 $$ ⇒ $$ (t^{2} - 4)^{3} < 0 $$ - **Quando $$ |t| = 2 $$:** O denominador se anula, indicando pontos de descontinuidade na segunda derivada. ### c) Sinal da segunda derivada Combinando os sinais do numerador e denominador: - **Para $$ |t| > 2 $$:** $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\text{Negativo}}{\text{Positivo}} < 0 \quad \Rightarrow \text{Côncava para baixo} $$ - **Para $$ |t| < 2 $$:** $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\text{Negativo}}{\text{Negativo}} = \text{Positivo} \quad \Rightarrow \text{Côncava para cima} $$ - **Para $$ t = \pm 2 $$:** A segunda derivada não está definida. ### d) Conclusão A curva é **côncava para cima** nos intervalos onde $$ |t| < 2 $$, ou seja: $$ -2 < t < 2 $$ ## Resumo - **Primeira derivada:** $$ \frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3t^{2} - 12} = \frac{2t}{3(t^{2} - 4)} $$ - **Segunda derivada:** $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-2(t^{2} + 4)}{9(t^{2} - 4)^{3}} $$ - **Concavidade para cima:** Quando $$ -2 < t < 2 $$. Para $$ -2 < t < 2 $$, a curva é côncava para cima.

16 Encontre \( d y / d x \) e \( d^{2} y / d x^{2} \). Para quais valores de \( t \) a curva ncava para cima? 12. \( x=t^{3}-12 t, \quad y=t^{2}-1 \)

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