\begin{tabular}{l} La función de posición de un cuerpo se describe a través de la expresion: \ $$ \qquad x(t)=5 t^{2}-8 t+11 $$ \ 1. La velocidad media en $$ \frac{m}{s} $$ entre el tiempo $$ t_{i}=3 s $$ y $$ t_{f}=6 s $$ es [escriba el resultado \ con un decimal, use punto para escribir decimales (calcule de dos formas distintas para \ comprobar su respuesta)]: \ 2. La función de velocidad $$ v(t) $$ puede escribirse como [escriba la expresión tal como se \ indica cjemplo: si su respuesta es $$ 2 t+5 $$ escriba $$ \left.2^{*} t+5 ight] v(t)= $$ \ \hline \ 3. De modo que la velocidad inicial en $$ \frac{m}{s} $$ para ese intervalo es [escriba el resultado con un \ decimal, use punto para escribir decimales] $$ v_{i}=\square $$ \ 4. Y la velocidad final en $$ \frac{m}{s} $$ para el intervalo es [escriba el resultado con un decimal, use \ punto para escribir decimales] $$ v_{f}=\square $$\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} La función de posición de un cuerpo se describe a través de la expresion: \ $$ \qquad x(t)=5 t^{2}-8 t+11 $$ \ 1. La velocidad media en $$ \frac{m}{s} $$ entre el tiempo $$ t_{i}=3 s $$ y $$ t_{f}=6 s $$ es [escriba el resultado \ con un decimal, use punto para escribir decimales (calcule de dos formas distintas para \ comprobar su respuesta)]: \ 2. La función de velocidad $$ v(t) $$ puede escribirse como [escriba la expresión tal como se \ indica cjemplo: si su respuesta es $$ 2 t+5 $$ escriba $$ \left.2^{*} t+5ight] v(t)= $$ \ \hline \ 3. De modo que la velocidad inicial en $$ \frac{m}{s} $$ para ese intervalo es [escriba el resultado con un \ decimal, use punto para escribir decimales] $$ v_{i}=\square $$ \ 4. Y la velocidad final en $$ \frac{m}{s} $$ para el intervalo es [escriba el resultado con un decimal, use \ punto para escribir decimales] $$ v_{f}=\square $$\end{tabular}

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**1. Cálculo de la velocidad media**

La velocidad media se define como:
$$
\text{Velocidad media} = \frac{x(t_f) - x(t_i)}{t_f-t_i}
$$

Usando $$t_i=3\,s$$ y $$t_f=6\,s$$:

- Calculemos $$x(3)$$:
  $$
  x(3)=5(3)^2-8(3)+11=5\cdot9-24+11=45-24+11=32\,m
  $$

- Calculemos $$x(6)$$:
  $$
  x(6)=5(6)^2-8(6)+11=5\cdot36-48+11=180-48+11=143\,m
  $$

Entonces, la velocidad media es:
$$
\text{Velocidad media}=\frac{143-32}{6-3}=\frac{111}{3}=37.0\,\frac{m}{s}
$$

**2. Obtención de la función de velocidad $$v(t)$$**

La función de velocidad es la derivada de la función de posición:
$$
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(5t^2-8t+11)
$$
$$
v(t)=10t-8
$$

Se escribe la función tal como se indica:
$$
v(t)=10^{*}t-8
$$

**3. Cálculo de la velocidad inicial $$v_i$$ en el intervalo**

La velocidad inicial corresponde a $$t_i=3\,s$$:
$$
v(3)=10(3)-8=30-8=22.0\,\frac{m}{s}
$$

**4. Cálculo de la velocidad final $$v_f$$ en el intervalo**

La velocidad final corresponde a $$t_f=6\,s$$:
$$
v(6)=10(6)-8=60-8=52.0\,\frac{m}{s}
$$
1. **Velocidad media entre 3 s y 6 s:** $$ \text{Velocidad media} = 37.0\,\frac{m}{s} $$ 2. **Función de velocidad $$v(t)$$:** $$ v(t) = 10^{*}t - 8 $$ 3. **Velocidad inicial $$v_i$$:** $$ v_i = 22.0\,\frac{m}{s} $$ 4. **Velocidad final $$v_f$$:** $$ v_f = 52.0\,\frac{m}{s} $$

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