Encuentre el límite. Utilice la regla de l’Hospital donde
sea apropiado. Si existe un método más elemental, considere la
posibilidad de usarlo. Si no aplica la regla de l’Hospital,
explique por qué.

Ask by Flynn Powers. in Colombia

Nov 24,2024

Question

Encuentre el límite. Utilice la regla de l’Hospital donde
sea apropiado. Si existe un método más elemental, considere la
posibilidad de usarlo. Si no aplica la regla de l’Hospital,
explique por qué.

Ask by Flynn Powers. in Colombia

Nov 24,2024

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Calculate the limit $$ \lim _{x ightarrow 0^{+}} \sin x \ln x $$.
Evaluate the limit by following steps:
- step0: Evaluate using L'Hopital's rule:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\sin\left(xight)	imes \ln{\left(xight)}ight)$$
- step1: Transform the expression:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{\ln{\left(xight)}}{\sin^{-1}\left(xight)}ight)$$
- step2: Use the L'Hopital's rule:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln{\left(xight)}ight)}{\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}\left(xight)ight)}ight)$$
- step3: Find the derivative:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos\left(xight)}{\sin^{2}\left(xight)}}ight)$$
- step4: Simplify the expression:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{-\sin^{2}\left(xight)}{x\cos\left(xight)}ight)$$
- step5: Use the L'Hopital's rule:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(-\sin^{2}\left(xight)ight)}{\frac{d}{dx}\left(x\cos\left(xight)ight)}ight)$$
- step6: Find the derivative:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{-2\sin\left(xight)\cos\left(xight)}{\cos\left(xight)-x\sin\left(xight)}ight)$$
- step7: Rewrite the expression:
  $$\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(-\frac{2\sin\left(xight)\cos\left(xight)}{\cos\left(xight)-x\sin\left(xight)}ight)$$
- step8: Rewrite the expression:
  $$-\lim _{xightarrow 0^{+}}\left(\frac{2\sin\left(xight)\cos\left(xight)}{\cos\left(xight)-x\sin\left(xight)}ight)$$
- step9: Calculate:
  $$0$$
El límite de la expresión $$\lim _{x ightarrow 0^{+}} \sin x \ln x$$ es igual a 0.
El límite es 0.

Encuentre el límite. Utilice la regla de l’Hospital donde
sea apropiado. Si existe un método más elemental, considere la
posibilidad de usarlo. Si no aplica la regla de l’Hospital,
explique por qué.

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