CAS 를 사용하여 라그랑주 승수의 방법을 사용할 때 생기는 방정식
을 풀어라.
60.

Ask by Mcfarlane Powell. in South Korea

Dec 17,2024

Question

CAS 를 사용하여 라그랑주 승수의 방법을 사용할 때 생기는 방정식 을 풀어라. 60. $$ f(x, y, z)=x+y+z ; \quad x^{2}-y^{2}=z, x^{2}+z^{2}=4 $$

UpStudy AI · Accepted Answer

라그랑주 승수법을 사용하여 주어진 문제를 해결해 보겠습니다. 주어진 함수와 제약 조건은 다음과 같습니다.

목표 함수:
$$
f(x, y, z) = x + y + z
$$

제약 조건:
1. $$ g_1(x, y, z) = x^2 - y^2 - z = 0 $$
2. $$ g_2(x, y, z) = x^2 + z^2 - 4 = 0 $$

라그랑주 승수법에 따라, 우리는 다음과 같은 방정식을 설정합니다:
$$
\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2
$$

여기서 $$\nabla f$$, $$\nabla g_1$$, $$\nabla g_2$$는 각각의 함수의 기울기 벡터입니다.

1. $$ \nabla f = (1, 1, 1) $$
2. $$ \nabla g_1 = (2x, -2y, -1) $$
3. $$ \nabla g_2 = (2x, 0, 2z) $$

이제 라그랑주 승수 방정식을 세웁니다:
$$
(1, 1, 1) = \lambda_1 (2x, -2y, -1) + \lambda_2 (2x, 0, 2z)
$$

이로부터 다음과 같은 방정식들을 얻습니다:
1. $$ 1 = \lambda_1 (2x) + \lambda_2 (2x) $$  (1)
2. $$ 1 = \lambda_1 (-2y) + \lambda_2 (0) $$  (2)
3. $$ 1 = \lambda_1 (-1) + \lambda_2 (2z) $$  (3)

또한 제약 조건을 다시 적어줍니다:
1. $$ x^2 - y^2 - z = 0 $$  (4)
2. $$ x^2 + z^2 - 4 = 0 $$  (5)

이제 방정식 (1), (2), (3), (4), (5)를 풀어보겠습니다.

### 방정식 (2)에서 $$\lambda_1$$을 구합니다:
$$
1 = -2\lambda_1 y \implies \lambda_1 = -\frac{1}{2y}
$$

### 방정식 (1)에 $$\lambda_1$$을 대입합니다:
$$
1 = -\frac{1}{2y}(2x) + \lambda_2 (2x)
$$
$$
1 = -\frac{x}{y} + \lambda_2 (2x)
$$
$$
\lambda_2 (2x) = 1 + \frac{x}{y} \implies \lambda_2 = \frac{1 + \frac{x}{y}}{2x}
$$

### 방정식 (3)에 $$\lambda_1$$과 $$\lambda_2$$를 대입합니다:
$$
1 = -\left(-\frac{1}{2y}\right) + \left(\frac{1 + \frac{x}{y}}{2x}\right)(2z)
$$
$$
1 = \frac{1}{2y} + \frac{(1 + \frac{x}{y})z}{x}
$$

이제 이 방정식을 정리하여 $$z$$에 대한 식을 구합니다.

### 제약 조건 (4)와 (5)를 사용하여 $$x$$, $$y$$, $$z$$의 값을 구합니다:
1. $$ z = x^2 - y^2 $$ (4)
2. $$ z^2 = 4 - x^2 $$ (5)

이 두 식을 연립하여 $$x$$와 $$y$$의 값을 구할 수 있습니다.

이 과정을 통해 $$x$$, $$y$$, $$z$$의 값을 구한 후, 목표 함수 $$f(x, y, z) = x + y + z$$의 값을 계산하면 됩니다.

이제 이 과정을 통해 최적의 해를 구해보세요. 각 단계에서 필요한 값을 대입하여 최종 결과를 도출할 수 있습니다.
라그랑주 승수법을 사용하여 주어진 방정식을 풀 때, 목표 함수 $$f(x, y, z) = x + y + z$$과 제약 조건 $$x^2 - y^2 = z$$ 및 $$x^2 + z^2 = 4$$을 사용합니다. 방정식을 풀어 $$x$$, $$y$$, $$z$$의 값을 구한 후, 목표 함수의 값을 계산합니다.

CAS 를 사용하여 라그랑주 승수의 방법을 사용할 때 생기는 방정식
을 풀어라.
60.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

방정식 (2)에서 을 구합니다:

방정식 (1)에 을 대입합니다:

방정식 (3)에 과 를 대입합니다:

제약 조건 (4)와 (5)를 사용하여 , , 의 값을 구합니다:

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