Demuestra que \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \) para todos los valores \( x \) en su dominio.

Para demostrar que \( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \), consideremos lo siguiente: definamos \( y = \arcsin(x) \). Esto significa que \( \sin(y) = x \). Ahora, como \( \arccos(x) \) es la función inversa del coseno, podemos establecer que \( \arccos(x) = z \), donde \( \cos(z) = x \). Ahora, usando la identidad fundamental de la trigonometría sabemos que: \[ \sin^2(y) + \cos^2(z) = 1 \] Sustituyendo \( \sin(y) = x \) y \( \cos(z) = x \) en la identidad, obtenemos: \[ x^2 + \cos^2(z) = 1 \] De aquí, podemos deducir que: \[ \cos^2(z) = 1 - x^2 \] Esto implica que: \[ \cos(z) = \sqrt{1 - x^2} \] Dado que tanto \( y \) como \( z \) están en el rango de \( [0, \frac{\pi}{2}] \), podemos afirmar que \( y + z = \frac{\pi}{2} \) dado que \( \sin(y) = x \) y \( \cos(z) = x \). Así, podemos decir que: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \] Esto concluye la demostración de que la ecuación es verdadera para todos los valores \( x \) en su dominio.