لـورل وضعيت تابع هاى داده شده را بنويسيد و نقاط ماكزيمم و مينيمم و عطف تابع را در ـوررت وجود تعيين كنيا و سپّس نمودار آن را رسم كنيد. - 1) \( y=\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+4 \) - 2) \( y=x^{3}-3 x^{2}+7 \) - 3) \( y=x^{4}-2 x^{2}+12 \)

برای هر کدام از توابع داده شده، مراحل زیر را طی می‌کنیم تا وضعیت تابع، نقاط ماکزیمم و مینیمم، نقاط عطف و نمودار آن را مشخص کنیم. --- ## 1) \( y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4 \) ### الف) مشتق اول تابع \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4 \right) = x^{2} - 6x + 8 \] ### ب) نقاط بحرانی (حيث \( y' = 0 \)) \[ x^{2} - 6x + 8 = 0 \\ \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \\ \Rightarrow x = 4 \quad \text{یا} \quad x = 2 \] بنابراین نقاط بحرانی در \( x = 2 \) و \( x = 4 \) وجود دارند. ### ج) تعیین ماکزیمم و مینیمم با مشتق دوم \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( x^{2} - 6x + 8 \right) = 2x - 6 \] - برای \( x = 2 \): \[ y''(2) = 2 \times 2 - 6 = -2 < 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی ماکزیمم \] - برای \( x = 4 \): \[ y''(4) = 2 \times 4 - 6 = 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی مینیمم \] ### د) نقاط عطف (حيث \( y'' = 0 \)) \[ 2x - 6 = 0 \\ \Rightarrow x = 3 \] بنابراین نقطه‌ی عطف در \( x = 3 \) وجود دارد. ### هـ) نمودار تابع - تابع درجه‌ی سوم با رشد به بی‌نهایت مثبت و منفی. - دارای یک ماکزیمم در \( x = 2 \) و یک مینیمم در \( x = 4 \). - نقطه‌ی عطف در \( x = 3 \). --- ## 2) \( y = x^{3} - 3 x^{2} + 7 \) ### الف) مشتق اول تابع \[ y' = 3x^{2} - 6x \] ### ب) نقاط بحرانی (حيث \( y' = 0 \)) \[ 3x^{2} - 6x = 0 \\ \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \\ \Rightarrow x = 0 \quad \text{یا} \quad x = 2 \] ### ج) تعیین ماکزیمم و مینیمم با مشتق دوم \[ y'' = 6x - 6 \] - برای \( x = 0 \): \[ y''(0) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی ماکزیمم \] - برای \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6 \times 2 - 6 = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی مینیمم \] ### د) نقاط عطف (حيث \( y'' = 0 \)) \[ 6x - 6 = 0 \\ \Rightarrow x = 1 \] بنابراین نقطه‌ی عطف در \( x = 1 \) وجود دارد. ### هـ) نمودار تابع - تابع درجه‌ی سوم با رشد به بی‌نهایت مثبت و منفی. - دارای یک ماکزیمم در \( x = 0 \) و یک مینیمم در \( x = 2 \). - نقطه‌ی عطف در \( x = 1 \). --- ## 3) \( y = x^{4} - 2 x^{2} + 12 \) ### الف) مشتق اول تابع \[ y' = 4x^{3} - 4x \] ### ب) نقاط بحرانی (حيث \( y' = 0 \)) \[ 4x^{3} - 4x = 0 \\ \Rightarrow 4x(x^{2} - 1) = 0 \\ \Rightarrow x = 0 \quad \text{یا} \quad x = \pm 1 \] ### ج) تعیین ماکزیمم و مینیمم با مشتق دوم \[ y'' = 12x^{2} - 4 \] - برای \( x = 0 \): \[ y''(0) = -4 < 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی ماکزیمم محلی \] - برای \( x = 1 \): \[ y''(1) = 12 \times 1 - 4 = 8 > 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی مینیمم محلی \] - برای \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 12 \times 1 - 4 = 8 > 0 \quad \Rightarrow \quad نقطه‌ی مینیمم محلی \] ### د) نقاط عطف (حيث \( y'' = 0 \)) \[ 12x^{2} - 4 = 0 \\ \Rightarrow 12x^{2} = 4 \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{3} \\ \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] بنابراین نقاط عطف در \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) و \( x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) وجود دارند. ### هـ) نمودار تابع - تابع درجه‌ی چهارم با شکل سینوسی که به سمت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند. - دارای یک ماکزیمم محلی در \( x = 0 \) و دو مینیمم محلی در \( x = \pm 1 \). - نقاط عطف در \( x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \). --- ### نتیجه‌گیری کلی: در تمام توابع بررسی شده، با استفاده از مشتق اول و دوم، نقاط بحرانی تعیین شده و نوع آنها مشخص گردید. نقاط عطف نیز با استفاده از مشتق دوم به دست آمدند. نمودار هر تابع بر اساس این اطلاعات شکل کلی خود را پیدا می‌کند که شامل نقاط ماکزیمم، مینیمم و عطف می‌باشد.