$$ \sum _ { n = 2 ^ { n ^ { 2 } - 1 } } ^ { \infty } \frac { 2 } { n ^ { 2 } } $$

Question

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La notación de la suma que has proporcionado es:

$$
\sum_{n = 2^{n^{2} - 1}}^{\infty} \frac{2}{n^{2}}
$$

Sin embargo, hay un problema con los límites de la suma tal como están escritos. En una notación de suma estándar, el índice de la suma $$ n $$ debe tomar valores enteros incrementales desde un límite inferior fijo hasta un límite superior (que puede ser infinito). En tu expresión, el límite inferior está definido de manera recursiva en función de $$ n $$ mismo, lo que no es válido y hace que la expresión sea indefinida.

**Posibles correcciones o interpretaciones:**

1. **Límite Inferior Fijo:**
   Si el límite inferior está destinado a ser un número fijo, por ejemplo, $$ n = 2 $$, la suma se vería así:
   $$
   \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}}
   $$
   Esta suma es convergente y su valor es:
   $$
   2 \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} - 1 \right) = 2 \left( \frac{\pi^{2}}{6} - 1 \right) = \frac{\pi^{2}}{3} - 2
   $$

2. **Exponente Corregido:**
   Si hubo un error tipográfico y el exponente debía ser algo diferente, como $$ 2^{n} $$ en lugar de $$ 2^{n^{2} - 1} $$, aún así, definir $$ n $$ en términos de sí mismo en el límite inferior no es válido.

3. **Sumatoria con Expresiones Funcionales:**
   Si la intención era utilizar una función diferente para los límites, se requeriría una notación más clara y posiblemente una explicación adicional sobre cómo se comportan los límites en función de $$ n $$.

**Recomendación:**
Por favor, revisa la expresión original y proporciona más detalles o corrige los límites de la suma para que pueda asistirte mejor. Si tienes en mente una sumatoria específica o una propiedad matemática que deseas explorar, estaré encantado de ayudarte con más información.
La expresión de la suma está mal escrita porque el límite inferior depende de $$ n $$ mismo. Para que la suma sea válida, el límite inferior debe ser un número fijo. Si quieres sumar desde $$ n = 2 $$ hasta infinito, la suma correcta sería: $$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{3} - 2 $$

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