8. La derivada de la función \( y=4 x^{\frac{5}{4}}-3 x^{\frac{4}{3}}+8 \) es: \( \begin{array}{llll}\text { a) } 4 x^{\frac{1}{4}}-4 x^{\frac{2}{3}} & \text { b) } 5 x^{\frac{1}{4}}-3 x^{\frac{1}{3}} & \text { c) } 5 x^{\frac{1}{4}}-4 x^{\frac{1}{3}} & \text { d) } 5 x^{\frac{3}{4}}-3 x^{\frac{1}{3}}\end{array} \)

Para encontrar la derivada de la función \( y=4 x^{\frac{5}{4}}-3 x^{\frac{4}{3}}+8 \), aplicamos la regla de la potencia. La derivada de \( ax^n \) es \( anx^{n-1} \). Entonces, calculamos: 1. Para \( 4x^{\frac{5}{4}} \): la derivada es \( 4 \cdot \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4}-1} = 5x^{\frac{1}{4}} \). 2. Para \( -3x^{\frac{4}{3}} \): la derivada es \( -3 \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3}-1} = -4x^{\frac{1}{3}} \). Por lo tanto, la derivada completa es \( y' = 5x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{3}} \) y la respuesta correcta es la opción c). ¿Sabías que el concepto de derivada nació en el siglo XVII y es fundamental en el cálculo? Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz fueron los pioneros en esta área, cada uno desarrolló sus métodos de cálculo independientemente, lo que llevó a un interesante debate sobre la prioridad en el descubrimiento. Las derivadas tienen muchas aplicaciones en la vida real. Por ejemplo, son fundamentales en la física para describir cómo un objeto se mueve en función del tiempo, como en la ecuación de movimiento rectilíneo uniforme, o en economía, para maximizar ingresos y minimizar costos en funciones de utilidad. ¡La próxima vez que calcules una derivada, recuerda que estás usando una herramienta poderosa del mundo real!