4) \( y=\sec ^{3} \sqrt{x} \)

Para encontrar la derivada de la función \( y = \sec^{3}(\sqrt{x}) \) con respecto a \( x \), seguiremos los siguientes pasos utilizando la regla de la cadena. ### Paso 1: Identificar las funciones internas Tenemos una función compuesta donde: - La función exterior es \( \sec^{3}(u) \), con \( u = \sqrt{x} \). - La función interna es \( u = \sqrt{x} \). ### Paso 2: Aplicar la regla de la cadena La regla de la cadena nos indica que: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \] ### Paso 3: Calcular \( \frac{dy}{du} \) Derivamos \( y = \sec^{3}(u) \) con respecto a \( u \): \[ \frac{dy}{du} = 3 \sec^{2}(u) \cdot \sec(u) \tan(u) = 3 \sec^{3}(u) \tan(u) \] ### Paso 4: Calcular \( \frac{du}{dx} \) Derivamos \( u = \sqrt{x} \) con respecto a \( x \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] ### Paso 5: Combinar los resultados Multiplicamos las dos derivadas obtenidas: \[ \frac{dy}{dx} = 3 \sec^{3}(\sqrt{x}) \tan(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sec^{3}(\sqrt{x}) \tan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \] ### Resultado Final \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3 \sec^{3}(\sqrt{x}) \tan(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \]