جـول وضعيت تابع هاى داده شده را بنويسيد و نقاط ماكزيمم و مينيمم و عطف تابع را در سورت وجود تعيين كنيد و سبّس نمودار آن را رسم كنيا.

Question

جـول وضعيت تابع هاى داده شده را بنويسيد و نقاط ماكزيمم و مينيمم و عطف تابع را در سورت وجود تعيين كنيد و سبّس نمودار آن را رسم كنيا. - 1) $$ y=\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+4 $$ - 2) $$ y=x^{3}-3 x^{2}+7 $$ - 3) $$ y=x^{4}-2 x^{2}+12 $$

UpStudy AI · Accepted Answer

### تابع اول: $$ y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 $$ #### ۱. **حیطه تابع:** حیطه تعریف تابع تمامی اعداد حقیقی است. $$ D(y) = \mathbb{R} $$ #### ۲. **یافتن نقاط بحرانی و نوع آنها:** - **محاسبه مشتق اول:** $$ y' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 \right) = x^{2} - 6x + 8 $$ - **پیدا کردن نقاط بحرانی (یعنی نقاطی که $$ y' = 0 $$):** $$ x^{2} - 6x + 8 = 0 $$ $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} $$ $$ x = 2 \quad \text{و} \quad x = 4 $$ - **محاسبه مشتق دوم برای تعیین نوع نقاط بحرانی:** $$ y'' = \frac{d}{dx}(x^{2} - 6x + 8) = 2x - 6 $$ - برای $$ x = 2 $$: $$ y''(2) = 2(2) - 6 = -2 < 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداکثر} $$ - برای $$ x = 4 $$: $$ y''(4) = 2(4) - 6 = 2 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} $$ #### ۳. **نقاط ماکزیمم و مینیمم:** - **نقطه ماکزیمم محلی در $$ x = 2 $$:** $$ y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 3(2)^2 + 8(2) + 4 = \frac{8}{3} - 12 + 16 + 4 = \frac{32}{3} $$ - **نقطه مینیمم محلی در $$ x = 4 $$:** $$ y(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - 3(4)^2 + 8(4) + 4 = \frac{64}{3} - 48 + 32 + 4 = \frac{28}{3} $$ #### ۴. **نقطه عطف تابع:** - **نقطه عطف در $$ x = 3 $$:** $$ y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 3(3)^2 + 8(3) + 4 = 9 - 27 + 24 + 4 = 10 $$ #### ۵. **ترسیم نمودار:** نمودار این تابع یک نمودار درجه سوم است که دارای یک نقطه ماکزیمم محلی در $$ (2, \frac{32}{3}) $$، یک نقطه مینیمم محلی در $$ (4, \frac{28}{3}) $$ و یک نقطه عطف در $$ (3, 10) $$ می‌باشد. --- ### تابع دوم: $$ y = x^{3} - 3x^{2} + 7 $$ #### ۱. **حیطه تابع:** حیطه تعریف تابع تمامی اعداد حقیقی است. $$ D(y) = \mathbb{R} $$ #### ۲. **یافتن نقاط بحرانی و نوع آنها:** - **محاسبه مشتق اول:** $$ y' = 3x^{2} - 6x $$ - **پیدا کردن نقاط بحرانی (یعنی نقاطی که $$ y' = 0 $$):** $$ 3x^{2} - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{یا} \quad x = 2 $$ - **محاسبه مشتق دوم برای تعیین نوع نقاط بحرانی:** $$ y'' = 6x - 6 $$ - برای $$ x = 0 $$: $$ y''(0) = -6 < 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداکثر} $$ - برای $$ x = 2 $$: $$ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} $$ #### ۳. **نقاط ماکزیمم و مینیمم:** - **نقطه ماکزیمم محلی در $$ x = 0 $$:** $$ y(0) = 0^{3} - 3(0)^{2} + 7 = 7 $$ - **نقطه مینیمم محلی در $$ x = 2 $$:** $$ y(2) = 2^{3} - 3(2)^{2} + 7 = 8 - 12 + 7 = 3 $$ #### ۴. **نقطه عطف تابع:** - **نقطه عطف در $$ x = 1 $$:** (چون مشتق دوم برابر صفر در $$ x =1 $$ باشد) $$ 6x - 6 =0 \Rightarrow x=1 $$ $$ y(1) = 1^{3} - 3(1)^{2} + 7 = 1 - 3 + 7 = 5 $$ #### ۵. **ترسیم نمودار:** نمودار این تابع نیز یک نمودار درجه سوم است که دارای یک نقطه ماکزیمم محلی در $$ (0, 7) $$، یک نقطه مینیمم محلی در $$ (2, 3) $$ و یک نقطه عطف در $$ (1, 5) $$ می‌باشد. --- ### تابع سوم: $$ y = x^{4} - 2x^{2} + 12 $$ #### ۱. **حیطه تابع:** حیطه تعریف تابع تمامی اعداد حقیقی است. $$ D(y) = \mathbb{R} $$ #### ۲. **یافتن نقاط بحرانی و نوع آنها:** - **محاسبه مشتق اول:** $$ y' = 4x^{3} - 4x $$ - **پیدا کردن نقاط بحرانی (یعنی نقاطی که $$ y' = 0 $$):** $$ 4x^{3} - 4x = 0 $$ $$ 4x(x^{2} -1) = 0 \Rightarrow x=0 \quad \text{یا} \quad x = \pm 1 $$ - **محاسبه مشتق دوم برای تعیین نوع نقاط بحرانی:** $$ y'' = 12x^{2} - 4 $$ - برای $$ x = 0 $$: $$ y''(0) = -4 < 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداکثر} $$ - برای $$ x = 1 $$: $$ y''(1) = 12(1)^{2} - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} $$ - برای $$ x = -1 $$: $$ y''(-1) = 12(-1)^{2} - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} $$ #### ۳. **نقاط ماکزیمم و مینیمم:** - **نقطه ماکزیمم محلی در $$ x = 0 $$:** $$ y(0) = 0^{4} - 2(0)^{2} + 12 = 12 $$ - **نقاط مینیمم محلی در $$ x = \pm 1 $$:** $$ y(1) = 1^{4} - 2(1)^{2} + 12 = 1 - 2 + 12 = 11 $$ $$ y(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{2} + 12 = 1 - 2 + 12 = 11 $$ #### ۴. **نقطه عطف تابع:** نقاط عطف تابع در نقاط حداقل و حداکثر یافت شده‌اند: - نقطه عطف محلی حداکثر در $$ (0, 12) $$ - نقاط عطف محلی مینیمم در $$ (1, 11) $$ و $$ (-1, 11) $$ #### ۵. **ترسیم نمودار:** نمودار این تابع یک نمودار درجه چهارم است که دارای یک نقطه ماکزیمم محلی در $$ (0, 12) $$ و دو نقطه مینیمم محلی در $$ (1, 11) $$ و $$ (-1, 11) $$ می‌باشد. این نمودار به سمت بی‌نهایت در هر دو طرف محور $$ x $$ طرازر می‌دهد. --- **تذکر مهم:** برای رسم دقیق نمودارها، توصیه می‌شود نقاط بیشتری از تابع‌ها محاسبه کرده و رفتار تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید. ### تابع اول: $$ y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 $$ - **نقاط بحرانی:** - ماکزیمم محلی در $$ x = 2 $$ با مقادیر $$ y = \frac{32}{3} $$ - مینیمم محلی در $$ x = 4 $$ با مقادیر $$ y = \frac{28}{3} $$ - **نقطه عطف:** در $$ x = 3 $$ با مقادیر $$ y = 10 $$ - **نمودار:** نمودار درجه سوم با یک ماکزیمم، یک مینیمم و یک نقطه عطف. --- ### تابع دوم: $$ y = x^{3} - 3x^{2} + 7 $$ - **نقاط بحرانی:** - ماکزیمم محلی در $$ x = 0 $$ با مقادیر $$ y = 7 $$ - مینیمم محلی در $$ x = 2 $$ با مقادیر $$ y = 3 $$ - **نقطه عطف:** در $$ x = 1 $$ با مقادیر $$ y = 5 $$ - **نمودار:** نمودار درجه سوم با یک ماکزیمم، یک مینیمم و یک نقطه عطف. --- ### تابع سوم: $$ y = x^{4} - 2x^{2} + 12 $$ - **نقاط بحرانی:** - ماکزیمم محلی در $$ x = 0 $$ با مقادیر $$ y = 12 $$ - مینیمم محلی در $$ x = \pm 1 $$ با مقادیر $$ y = 11 $$ - **نقطه عطف:** در $$ x = 0, 1, -1 $$ با مقادیر $$ y = 12, 11, 11 $$ به ترتیب - **نمودار:** نمودار درجه چهارم با یک ماکزیمم و دو مینیمم، به سمت بی‌نهایت در هر دو طرف محور $$ x $$ طراز. --- **تذکر:** برای رسم دقیق نمودارها، توصیه می‌شود نقاط بیشتری از تابع‌ها محاسبه کرده و رفتار تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.

Upstudy AI Solution

Answer

تابع اول:

تابع دوم:

تابع سوم:

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions