جـول وضعيت تابع هاى داده شده را بنويسيد و نقاط ماكزيمم و مينيمم و عطف تابع را در سورت وجود تعيين كنيد و سبّس نمودار آن را رسم كنيا. - 1) \( y=\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+4 \) - 2) \( y=x^{3}-3 x^{2}+7 \) - 3) \( y=x^{4}-2 x^{2}+12 \)

### تابع اول: \( y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 \) #### ۱. **حیطه تابع:** حیطه تعریف تابع تمامی اعداد حقیقی است. \[ D(y) = \mathbb{R} \] #### ۲. **یافتن نقاط بحرانی و نوع آنها:** - **محاسبه مشتق اول:** \[ y' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 8x + 4 \right) = x^{2} - 6x + 8 \] - **پیدا کردن نقاط بحرانی (یعنی نقاطی که \( y' = 0 \)):** \[ x^{2} - 6x + 8 = 0 \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \] \[ x = 2 \quad \text{و} \quad x = 4 \] - **محاسبه مشتق دوم برای تعیین نوع نقاط بحرانی:** \[ y'' = \frac{d}{dx}(x^{2} - 6x + 8) = 2x - 6 \] - برای \( x = 2 \): \[ y''(2) = 2(2) - 6 = -2 < 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداکثر} \] - برای \( x = 4 \): \[ y''(4) = 2(4) - 6 = 2 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} \] #### ۳. **نقاط ماکزیمم و مینیمم:** - **نقطه ماکزیمم محلی در \( x = 2 \):** \[ y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 3(2)^2 + 8(2) + 4 = \frac{8}{3} - 12 + 16 + 4 = \frac{32}{3} \] - **نقطه مینیمم محلی در \( x = 4 \):** \[ y(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - 3(4)^2 + 8(4) + 4 = \frac{64}{3} - 48 + 32 + 4 = \frac{28}{3} \] #### ۴. **نقطه عطف تابع:** - **نقطه عطف در \( x = 3 \):** \[ y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 3(3)^2 + 8(3) + 4 = 9 - 27 + 24 + 4 = 10 \] #### ۵. **ترسیم نمودار:** نمودار این تابع یک نمودار درجه سوم است که دارای یک نقطه ماکزیمم محلی در \( (2, \frac{32}{3}) \)، یک نقطه مینیمم محلی در \( (4, \frac{28}{3}) \) و یک نقطه عطف در \( (3, 10) \) می‌باشد. --- ### تابع دوم: \( y = x^{3} - 3x^{2} + 7 \) #### ۱. **حیطه تابع:** حیطه تعریف تابع تمامی اعداد حقیقی است. \[ D(y) = \mathbb{R} \] #### ۲. **یافتن نقاط بحرانی و نوع آنها:** - **محاسبه مشتق اول:** \[ y' = 3x^{2} - 6x \] - **پیدا کردن نقاط بحرانی (یعنی نقاطی که \( y' = 0 \)):** \[ 3x^{2} - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{یا} \quad x = 2 \] - **محاسبه مشتق دوم برای تعیین نوع نقاط بحرانی:** \[ y'' = 6x - 6 \] - برای \( x = 0 \): \[ y''(0) = -6 < 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداکثر} \] - برای \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} \] #### ۳. **نقاط ماکزیمم و مینیمم:** - **نقطه ماکزیمم محلی در \( x = 0 \):** \[ y(0) = 0^{3} - 3(0)^{2} + 7 = 7 \] - **نقطه مینیمم محلی در \( x = 2 \):** \[ y(2) = 2^{3} - 3(2)^{2} + 7 = 8 - 12 + 7 = 3 \] #### ۴. **نقطه عطف تابع:** - **نقطه عطف در \( x = 1 \):** (چون مشتق دوم برابر صفر در \( x =1 \) باشد) \[ 6x - 6 =0 \Rightarrow x=1 \] \[ y(1) = 1^{3} - 3(1)^{2} + 7 = 1 - 3 + 7 = 5 \] #### ۵. **ترسیم نمودار:** نمودار این تابع نیز یک نمودار درجه سوم است که دارای یک نقطه ماکزیمم محلی در \( (0, 7) \)، یک نقطه مینیمم محلی در \( (2, 3) \) و یک نقطه عطف در \( (1, 5) \) می‌باشد. --- ### تابع سوم: \( y = x^{4} - 2x^{2} + 12 \) #### ۱. **حیطه تابع:** حیطه تعریف تابع تمامی اعداد حقیقی است. \[ D(y) = \mathbb{R} \] #### ۲. **یافتن نقاط بحرانی و نوع آنها:** - **محاسبه مشتق اول:** \[ y' = 4x^{3} - 4x \] - **پیدا کردن نقاط بحرانی (یعنی نقاطی که \( y' = 0 \)):** \[ 4x^{3} - 4x = 0 \] \[ 4x(x^{2} -1) = 0 \Rightarrow x=0 \quad \text{یا} \quad x = \pm 1 \] - **محاسبه مشتق دوم برای تعیین نوع نقاط بحرانی:** \[ y'' = 12x^{2} - 4 \] - برای \( x = 0 \): \[ y''(0) = -4 < 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداکثر} \] - برای \( x = 1 \): \[ y''(1) = 12(1)^{2} - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} \] - برای \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1)^{2} - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{نقطه عطف محلی حداقل} \] #### ۳. **نقاط ماکزیمم و مینیمم:** - **نقطه ماکزیمم محلی در \( x = 0 \):** \[ y(0) = 0^{4} - 2(0)^{2} + 12 = 12 \] - **نقاط مینیمم محلی در \( x = \pm 1 \):** \[ y(1) = 1^{4} - 2(1)^{2} + 12 = 1 - 2 + 12 = 11 \] \[ y(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{2} + 12 = 1 - 2 + 12 = 11 \] #### ۴. **نقطه عطف تابع:** نقاط عطف تابع در نقاط حداقل و حداکثر یافت شده‌اند: - نقطه عطف محلی حداکثر در \( (0, 12) \) - نقاط عطف محلی مینیمم در \( (1, 11) \) و \( (-1, 11) \) #### ۵. **ترسیم نمودار:** نمودار این تابع یک نمودار درجه چهارم است که دارای یک نقطه ماکزیمم محلی در \( (0, 12) \) و دو نقطه مینیمم محلی در \( (1, 11) \) و \( (-1, 11) \) می‌باشد. این نمودار به سمت بی‌نهایت در هر دو طرف محور \( x \) طرازر می‌دهد. --- **تذکر مهم:** برای رسم دقیق نمودارها، توصیه می‌شود نقاط بیشتری از تابع‌ها محاسبه کرده و رفتار تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.