Obtenga los puntos en los cuales la función , no
analítica.

Ask by Riley Chambers. in Colombia

Nov 05,2024

Question

Obtenga los puntos en los cuales la función $$ f(z)=\frac{z}{1-z^{3}} $$, no analítica.

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Para determinar los puntos en los cuales la función $$ f(z) = \frac{z}{1 - z^3} $$ no es analítica, debemos identificar los puntos donde la función no está definida, es decir, donde el denominador se anula.

La función $$ f(z) $$ no será analítica en los puntos donde $$ 1 - z^3 = 0 $$. Para encontrar estos puntos, resolvemos la ecuación:

$$
1 - z^3 = 0
$$

Esto se puede reescribir como:

$$
z^3 = 1
$$

Los valores de $$ z $$ que satisfacen esta ecuación son las raíces cúbicas de la unidad. Estas raíces son:

$$
z = 1, \quad z = e^{2\pi i / 3}, \quad z = e^{4\pi i / 3}
$$

En forma más explícita, podemos escribir las raíces como:

1. $$ z_1 = 1 $$
2. $$ z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $$ (que es $$ e^{2\pi i / 3} $$)
3. $$ z_3 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i $$ (que es $$ e^{4\pi i / 3} $$)

Por lo tanto, la función $$ f(z) $$ no es analítica en los puntos:

$$
z = 1, \quad z = e^{2\pi i / 3}, \quad z = e^{4\pi i / 3}
$$

Estos son los puntos donde la función tiene singularidades.
La función $$ f(z) = \frac{z}{1 - z^3} $$ no es analítica en los puntos $$ z = 1, z = e^{2\pi i / 3}, z = e^{4\pi i / 3} $$.

Obtenga los puntos en los cuales la función , no
analítica.

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Obtenga los puntos en los cuales la función , no analítica.