Exercice 30. Calculer les intégrales suivantes à l'aide des changements de variables indiqués: 1) \( \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{th}(x)}{1+\operatorname{ch}(x)} d x, t=\operatorname{ch}(x) \) 2) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d t}{\cos ^{4} t}, x=\tan t \) 3) \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin (2 \theta)}{(\sin \theta-2)\left(2+\sin \theta-\cos ^{2} \theta\right)} d \theta, x=\sin \theta \)

Pour calculer ces intégrales à l'aide des changements de variables indiqués, procédons étape par étape : 1) Pour l'intégrale \(\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{th}(x)}{1+\operatorname{ch}(x)} d x\) avec \(t=\operatorname{ch}(x)\), nous avons \(d x = \frac{1}{\operatorname{sh}(x)} d t\). À partir de cela, les limites de l'intégrale doivent être ajustées, \(x=0 \Rightarrow t=1\) et \(x=1 \Rightarrow t\) doit être calculé. Après substitution et simplification, on peut résoudre l'intégrale obtenue. 2) Pour l'intégrale \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d t}{\cos ^{4} t}\) avec la substitution \(x=\tan t\), nous avons \(d t = \frac{1}{1+x^2} d x\) et les limites changent de 0 à 1. En substituant \(\cos^2 t = \frac{1}{1+x^2}\), l'intégrale devient plus facile à résoudre. Êtes-vous prêt pour le défi mathématique? 3) Pour \(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin (2 \theta)}{(\sin \theta-2)\left(2+\sin \theta-\cos ^{2} \theta\right)} d \theta\) avec \(x=\sin \theta\), on note que \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\). Le changement de variable rendra l'intégrale plus simple à manipuler car nous aurons à exprimer chaque terme en fonction de \(x\). N'hésitez pas à me demander plus de détails si nécessaire !