1. Если $$ f(x)=2 x-\sin x $$ тогда найдите один из первообразных функции $$ F(\mathrm{x}) $$. A) $$ F(x)=x^{2}+\cos x $$ B) $$ F(x)=x^{2}-\cos x $$ C) $$ F(x)=x^{2}-\sin x $$ D) $$ F(x)=x^{2}+\sin x $$ 2. Если $$ f(x)=2 x-\sin x $$ тогда найдите один из первообразных функции $$ F(\mathrm{x}) $$. A) $$ F(x)=x^{2}+\cos x $$ B) $$ F(x)=x^{2}-\cos x $$ C) $$ F(x)=x^{2}-\sin x $$ D) $$ F(x)=x^{2}+\sin x $$ 3. Если $$ f(x)=2 x-\cos x $$ тогда найдите один из первообразных функции $$ F(\mathrm{x}) $$. A) $$ F(x)=x^{2}+\cos x $$ B) $$ F(x)=x^{2}-\cos x $$ C) $$ F(x)=x^{2}+1-\sin x $$ D) $$ F(x)=x^{2}-1+\sin x $$ 4. Если $$ f(x)=2 \sin x \cos x $$ тогда найдите один из первообразных функции $$ F(x) $$. A) $$ F(x)=-2 \sin x \cos x $$ B) $$ F(x)=1-\cos ^{2} x $$ C) $$ F(x)=\cos ^{2} x $$ D) $$ F(x)=2-\sin ^{2} x $$ 5. Если $$ f(x)=3 x^{2}-\frac{2}{x-2} $$ тогда найдите один из первообразных функции $$ F(x) $$. A) $$ F(x)=x^{3}+\ln (x-2) $$ B) $$ F(x)=x^{3}+2 \ln \quad(x-2) $$ C) $$ F(x)=x^{3}-\ln (x-2) $$ D) $$ F(x)=x^{3}-2 \ln \quad(x-2) $$ 6. Если $$ f(x)=\ln x $$ тогда найдите один из первообразных функции $$ F(x) $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Найдём примитив функции $$ f(x)=2x-\sin x $$:

- Интегрируем:  
  $$
  \int (2x-\sin x) \, dx = \int 2x \, dx - \int \sin x \, dx.
  $$
- Вычисляем отдельно каждое слагаемое:  
  $$
  \int 2x \, dx = x^2,
  $$
  $$
  \int \sin x \, dx = -\cos x \quad \Rightarrow \quad -\int \sin x \, dx = \cos x.
  $$
- Таким образом, один из примитивов равен:  
  $$
  F(x)=x^2+\cos x.
  $$

Верный ответ – вариант A.

2. Повторяем вычисления для $$ f(x)=2x-\sin x $$.

Как и в пункте 1,  
$$
F(x)=x^2+\cos x.
$$

Верный ответ – вариант A.

3. Найдём примитив функции $$ f(x)=2x-\cos x $$:

- Интегрируем:  
  $$
  \int (2x-\cos x) \, dx = \int 2x \, dx - \int \cos x \, dx.
  $$
- Вычисляем интегралы:  
  $$
  \int 2x \, dx = x^2,
  $$
  $$
  \int \cos x \, dx = \sin x \quad \Rightarrow \quad -\int \cos x \, dx = -\sin x.
  $$
- Получаем один из примитивов:  
  $$
  F(x)=x^2-\sin x.
  $$
  
Поскольку добавление произвольной постоянной допустимо, вариант, равный $$ x^2+1-\sin x $$ (константа 1) также является корректным.

Верный ответ – вариант C.

4. Найдём примитив функции $$ f(x)=2\sin x\cos x $$:

- Заметим, что  
  $$
  2\sin x\cos x = \sin 2x.
  $$
- Альтернативно заметим, что производная функции $$ \sin^2 x $$ равна  
  $$
  \frac{d}{dx}(\sin^2 x)=2\sin x\cos x.
  $$
- Таким образом, одним из примитивов является  
  $$
  F(x)=\sin^2 x.
  $$
- Так как  
  $$
  \sin^2 x=1-\cos^2 x,
  $$
  выбор $$ F(x)=1-\cos^2 x $$ (с точностью до произвольной константы) корректен.

Верный ответ – вариант B.

5. Найдём примитив функции $$ f(x)=3x^2-\frac{2}{x-2} $$:

- Интегрируем:  
  $$
  \int \left(3x^2-\frac{2}{x-2}\right) dx = \int 3x^2 \, dx - \int \frac{2}{x-2} \, dx.
  $$
- Вычисляем интегралы:  
  $$
  \int 3x^2 \, dx = x^3,
  $$
  $$
  \int \frac{2}{x-2} \, dx = 2\ln |x-2|.
  $$
- Тогда получаем:  
  $$
  F(x)=x^3-2\ln |x-2|.
  $$

Верный ответ – вариант D.

6. Найдём примитив функции $$ f(x)=\ln x $$:

- Применим метод интегрирования по частям, полагая  
  $$
  u=\ln x,\quad dv=dx,\quad du=\frac{1}{x}dx,\quad v=x.
  $$
- По формуле интегрирования по частям получаем:  
  $$
  \int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.
  $$
- Таким образом, один из примитивов равен  
  $$
  F(x)=x\ln x-x.
  $$
1. $$ F(x) = x^2 + \cos x $$ 2. $$ F(x) = x^2 + \cos x $$ 3. $$ F(x) = x^2 - \sin x $$ 4. $$ F(x) = \sin^2 x $$ 5. $$ F(x) = x^3 - 2 \ln |x - 2| $$ 6. $$ F(x) = x \ln x - x $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions