19) Calcular el siguiente limite, aplicando la regla de L'Hopital: \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}} \] a) 0 b) \( \frac{1}{2} \) c) -1 d) \( -\frac{1}{2} \)

Para calcular el límite \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}} \) usando la regla de L'Hôpital, primero verificamos que tenemos una forma indeterminada \( \frac{0}{0} \) al sustituir \( x = 0 \). Aplicamos la regla y derivamos el numerador y el denominador: 1. Derivada del numerador: \( \frac{d}{dx}(1 - \cos(x)) = \sin(x) \) 2. Derivada del denominador: \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \) Ahora el límite se convierte en: \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} \] Sustituyendo \( x = 0 \) nuevamente nos da otra forma indeterminada, así que aplicamos L'Hôpital de nuevo: 1. Derivada del numerador: \( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \) 2. Derivada del denominador: \( \frac{d}{dx}(2x) = 2 \) Ahora tenemos: \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{\cos(0)}{2} = \frac{1}{2} \] Por lo tanto, la respuesta correcta es b) \( \frac{1}{2} \).