Démontrer que \( f \) et \( f^{\prime} \) sont bornées.

Compute the average value of \( f(t) = \sin(t) + \cos(t) \) over the interval \([0, \pi]\).

If \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+c x^{2}+a x+5 \) has alocal mintmum value at \( x=1 \). what is the value of \( a \) and \( c \) ?

(a) Find \( \int \frac{x+2}{x^{2}+2 x-3} \mathrm{~d} x \) (b) Find \( \int 2 x \sin x \mathrm{~d} x \) (c) Using the substitution \( x=3 \sin \theta \), find the exact value of \( \int_{0}^{\frac{3}{2}} \sqrt{9-x^{2}} d x \) 9 (a) \( \frac{3}{4} \ln |x-1|+\frac{1}{4} \ln |x+3|+C \) or \( \frac{1}{2} \ln \left|x^{2}+2 x-3\right|+\frac{1}{4} \ln \left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C \) (b) \( -2 x \cos x+2 \sin x+C \) (c) \( \frac{9}{8} \sqrt{3}+\frac{3}{4} \pi \)

soit \( x \in \mathbb{R}^{+} \): On pose \[ A=\sqrt{x^{2}+1}-x \text { et } B=\sqrt{x^{2}+1}+x . \] 1. [1 pt] Montrer que : \( A>0 \) et déduire que : \( B>2 x \). 2. [1 pt] Calculer \( A B \) et déduire que : \( A<\frac{1}{2 x} \) pour \( x \neq 0 \). 3. [1 pt]Démontrer que pour tout \( x \neq 0: \quad x<\sqrt{x^{2}+1}<x+\frac{1}{2 x} \). 4. \( \left[1 \mathrm{pt}\right. \) ] Donner un encadrement d'amplitude \( \frac{1}{66} \) pour le nombre \( \frac{\sqrt{122}}{3} \). Exercice \( 4 ; 3.5 \) POINTS.

احسب المسافة التي قطعها الجسم المتحرك وفقًا للمعادلة \( s(t) = t^3 - 3t + 2 \) خلال الزمن من \( t = 0 \) إلى \( t = 2 \).