soit \( x \in \mathbb{R}^{+} \): On pose \[ A=\sqrt{x^{2}+1}-x \text { et } B=\sqrt{x^{2}+1}+x . \] 1. [1 pt] Montrer que : \( A>0 \) et déduire que : \( B>2 x \). 2. [1 pt] Calculer \( A B \) et déduire que : \( A<\frac{1}{2 x} \) pour \( x \neq 0 \). 3. [1 pt]Démontrer que pour tout \( x \neq 0: \quad x<\sqrt{x^{2}+1}<x+\frac{1}{2 x} \). 4. \( \left[1 \mathrm{pt}\right. \) ] Donner un encadrement d'amplitude \( \frac{1}{66} \) pour le nombre \( \frac{\sqrt{122}}{3} \). Exercice \( 4 ; 3.5 \) POINTS.

**Risposte:** 1. **Mostrare che \( A > 0 \) e \( B > 2x \):** - Poiché \( x \) è un numero reale positivo, \( \sqrt{x^{2}+1} \) è maggiore di \( x \), quindi \( A = \sqrt{x^{2}+1} - x > 0 \). - Inoltre, \( B = \sqrt{x^{2}+1} + x > x + x = 2x \). 2. **Calcolare \( AB \) e dedurre \( A < \frac{1}{2x} \):** - \( AB = (\sqrt{x^{2}+1} - x)(\sqrt{x^{2}+1} + x) = 1 \). - Poiché \( B > 2x \), allora \( A = \frac{1}{B} < \frac{1}{2x} \). 3. **Dimostrare che \( x < \sqrt{x^{2}+1} < x + \frac{1}{2x} \):** - Dalla parte 1, \( \sqrt{x^{2}+1} > x \). - Dalla parte 2, \( \sqrt{x^{2}+1} = x + A \) con \( A < \frac{1}{2x} \). - Pertanto, \( x < \sqrt{x^{2}+1} < x + \frac{1}{2x} \). 4. **Inquadrare \( \frac{\sqrt{122}}{3} \) con ampiezza \( \frac{1}{66} \):** - \( \sqrt{122} \approx 11.0454 \), quindi \( \frac{\sqrt{122}}{3} \approx 3.6818 \). - Un intervallo con ampiezza \( \frac{1}{66} \approx 0.01515 \) è \( [3.6742, \ 3.6894] \). - Quindi, \( 3.674 \leq \frac{\sqrt{122}}{3} \leq 3.689 \).