3. Selesaikan soal tentang limit barisan berikut: \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+3} \) 4. Periksa kekonvergenan deret \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}} \)

Tentu, berikut adalah penyelesaian dari kedua soal tersebut: --- **3. Selesaikan soal tentang limit barisan berikut:** \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} \] **Penyelesaian:** Untuk menentukan limit dari barisan \(\frac{3n}{n+3}\) saat \(n\) mendekati tak hingga, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan \(n\), yang merupakan pangkat tertinggi di penyebut. \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n/n}{(n+3)/n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1 + \frac{3}{n}} \] Saat \(n \rightarrow \infty\), \(\frac{3}{n} \rightarrow 0\), sehingga: \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{3}{1 + 0} = 3 \] **Jawaban:** Limitnya adalah 3. --- **4. Periksa kekonvergenan deret berikut:** \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}} \] **Penyelesaian:** Untuk memeriksa kekonvergenan deret \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}}\), kita dapat menggunakan **Uji Perbandingan** atau **Uji Rasio**. Di sini, kita akan menggunakan Uji Rasio. Definisikan: \[ a_k = \frac{k!}{k^{k}} \] Terapkan Uji Rasio: \[ L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}} \cdot \frac{k^{k}}{k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1) \cdot k^{k}}{(k+1)^{k+1}}} \] Sederhanakan ekspresi: \[ L = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1) \cdot k^{k}}{(k+1)^{k} \cdot (k+1)} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k}{k+1} \right)^{k} = \lim_{k \to \infty} \left(1 - \frac{1}{k+1}\right)^{k} \] Gunakan fakta bahwa \(\lim_{k \to \infty} \left(1 - \frac{1}{k+1}\right)^{k} = \frac{1}{e}\), sehingga: \[ L = \frac{1}{e} < 1 \] Menurut **Uji Rasio**, jika \(L < 1\), maka deret \(\sum a_k\) konvergen. **Jawaban:** Deret tersebut konvergen.