3. Selesaikan soal tentang limit barisan berikut: $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+3} $$ 4. Periksa kekonvergenan deret $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Tentu, berikut adalah penyelesaian dari kedua soal tersebut:

---

**3. Selesaikan soal tentang limit barisan berikut:**

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3}
$$

**Penyelesaian:**

Untuk menentukan limit dari barisan $$\frac{3n}{n+3}$$ saat $$n$$ mendekati tak hingga, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan $$n$$, yang merupakan pangkat tertinggi di penyebut.

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n/n}{(n+3)/n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1 + \frac{3}{n}}
$$

Saat $$n \rightarrow \infty$$, $$\frac{3}{n} \rightarrow 0$$, sehingga:

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{3}{1 + 0} = 3
$$

**Jawaban:** Limitnya adalah 3.

---

**4. Periksa kekonvergenan deret berikut:**

$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}}
$$

**Penyelesaian:**

Untuk memeriksa kekonvergenan deret $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}}$$, kita dapat menggunakan **Uji Perbandingan** atau **Uji Rasio**. Di sini, kita akan menggunakan Uji Rasio.

Definisikan:

$$
a_k = \frac{k!}{k^{k}}
$$

Terapkan Uji Rasio:

$$
L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}} \cdot \frac{k^{k}}{k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1) \cdot k^{k}}{(k+1)^{k+1}}}
$$

Sederhanakan ekspresi:

$$
L = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1) \cdot k^{k}}{(k+1)^{k} \cdot (k+1)} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k}{k+1} \right)^{k} = \lim_{k \to \infty} \left(1 - \frac{1}{k+1}\right)^{k}
$$

Gunakan fakta bahwa $$\lim_{k \to \infty} \left(1 - \frac{1}{k+1}\right)^{k} = \frac{1}{e}$$, sehingga:

$$
L = \frac{1}{e} < 1
$$

Menurut **Uji Rasio**, jika $$L < 1$$, maka deret $$\sum a_k$$ konvergen.

**Jawaban:** Deret tersebut konvergen.
**3. Limit Barisan:** $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} = 3 $$ **4. Kekonvergenan Deret:** Deret $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}}$$ konvergen.

Selesaikan soal tentang limit barisan berikut:

Periksa kekonvergenan deret

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions

Selesaikan soal tentang limit barisan berikut: Periksa kekonvergenan deret