- Determine os limites infinitos, quando existirem: $$ \begin{array}{ll} ext { a) } \lim _{x ightarrow 2} \frac{-1}{2-x} & ext { d) } \lim _{x ightarrow 2} \frac{2 x-1}{x^{2}-2 x} \ ext { b) } \lim _{x ightarrow 0} \frac{1}{x^{6}} & ext { e) } \lim _{x ightarrow 0} \frac{1-x}{-x^{2}} \ ext { c) } \lim _{x ightarrow 3} \frac{x-1}{x-3} & ext { f) } \lim _{x ightarrow-2} \frac{1-x^{2}}{x+2}\end{array} $$

Question

- Determine os limites infinitos, quando existirem: $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } \lim _{x ightarrow 2} \frac{-1}{2-x} & 	ext { d) } \lim _{x ightarrow 2} \frac{2 x-1}{x^{2}-2 x} \ 	ext { b) } \lim _{x ightarrow 0} \frac{1}{x^{6}} & 	ext { e) } \lim _{x ightarrow 0} \frac{1-x}{-x^{2}} \ 	ext { c) } \lim _{x ightarrow 3} \frac{x-1}{x-3} & 	ext { f) } \lim _{x ightarrow-2} \frac{1-x^{2}}{x+2}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos determinar os limites infinitos para cada caso:

### a) $$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-1}{2 - x} $$

Podemos reescrever a expressão como:
$$
\frac{-1}{2 - x} = \frac{1}{x - 2}
$$

- **Quando $$ x $$ se aproxima de 2 pela direita ($$ x \rightarrow 2^+ $$):**
  $$
  x - 2 \rightarrow 0^+ \implies \frac{1}{x - 2} \rightarrow +\infty
  $$
  
- **Quando $$ x $$ se aproxima de 2 pela esquerda ($$ x \rightarrow 2^- $$):**
  $$
  x - 2 \rightarrow 0^- \implies \frac{1}{x - 2} \rightarrow -\infty
  $$

**Conclusão:** O limite não existe porque tende a $$ +\infty $$ pela direita e $$ -\infty $$ pela esquerda.

---

### b) $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{6}} $$

Como $$ x^6 > 0 $$ para todo $$ x \neq 0 $$:
$$
\frac{1}{x^6} \rightarrow +\infty \text{ conforme } x \rightarrow 0
$$

**Conclusão:** 
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{6}} = +\infty
$$

---

### c) $$ \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x - 1}{x - 3} $$

- **Quando $$ x $$ se aproxima de 3 pela direita ($$ x \rightarrow 3^+ $$):**
  $$
  x - 3 \rightarrow 0^+ \implies \frac{x - 1}{x - 3} \rightarrow +\infty
  $$
  
- **Quando $$ x $$ se aproxima de 3 pela esquerda ($$ x \rightarrow 3^- $$):**
  $$
  x - 3 \rightarrow 0^- \implies \frac{x - 1}{x - 3} \rightarrow -\infty
  $$

**Conclusão:** O limite não existe porque tende a $$ +\infty $$ pela direita e $$ -\infty $$ pela esquerda.

---

### d) $$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2x - 1}{x^{2} - 2x} $$

Simplificando o denominador:
$$
x^{2} - 2x = x(x - 2)
$$
A expressão se torna:
$$
\frac{2x - 1}{x(x - 2)}
$$
Para $$ x $$ próximo de 2:
$$
\frac{2(2) - 1}{2(x - 2)} = \frac{3}{2(x - 2)}
$$

- **Quando $$ x $$ se aproxima de 2 pela direita ($$ x \rightarrow 2^+ $$):**
  $$
  x - 2 \rightarrow 0^+ \implies \frac{3}{2(x - 2)} \rightarrow +\infty
  $$
  
- **Quando $$ x $$ se aproxima de 2 pela esquerda ($$ x \rightarrow 2^- $$):**
  $$
  x - 2 \rightarrow 0^- \implies \frac{3}{2(x - 2)} \rightarrow -\infty
  $$

**Conclusão:** O limite não existe porque tende a $$ +\infty $$ pela direita e $$ -\infty $$ pela esquerda.

---

### e) $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - x}{-x^{2}} $$

Simplificando a expressão:
$$
\frac{1 - x}{-x^{2}} = -\frac{1 - x}{x^{2}} = \frac{-1 + x}{x^{2}}
$$
Conforme $$ x \rightarrow 0 $$:
$$
\frac{-1 + x}{x^{2}} \approx \frac{-1}{x^{2}} \rightarrow -\infty
$$

**Conclusão:**
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - x}{-x^{2}} = -\infty
$$

---

### f) $$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1 - x^{2}}{x + 2} $$

Fatorando o numerador:
$$
1 - x^{2} = (1 - x)(1 + x)
$$
A expressão se torna:
$$
\frac{(1 - x)(1 + x)}{x + 2}
$$
Para $$ x $$ próximo de $$-2$$:
$$
(1 - (-2))(1 + (-2)) = 3 \times (-1) = -3
$$
Portanto:
$$
\frac{-3}{x + 2}
$$

- **Quando $$ x $$ se aproxima de $$-2$$ pela direita ($$ x \rightarrow -2^+ $$):**
  $$
  x + 2 \rightarrow 0^+ \implies \frac{-3}{x + 2} \rightarrow -\infty
  $$
  
- **Quando $$ x $$ se aproxima de $$-2$$ pela esquerda ($$ x \rightarrow -2^- $$):**
  $$
  x + 2 \rightarrow 0^- \implies \frac{-3}{x + 2} \rightarrow +\infty
  $$

**Conclusão:** O limite não existe porque tende a $$ -\infty $$ pela direita e $$ +\infty $$ pela esquerda.
Os limites infinitos são: a) Não existe (tende a $$ +\infty $$ pela direita e $$ -\infty $$ pela esquerda) b) $$ +\infty $$ c) Não existe (tende a $$ +\infty $$ pela direita e $$ -\infty $$ pela esquerda) d) Não existe (tende a $$ +\infty $$ pela direita e $$ -\infty $$ pela esquerda) e) $$ -\infty $$ f) Não existe (tende a $$ -\infty $$ pela direita e $$ +\infty $$ pela esquerda)

Determine os limites infinitos, quando existirem:

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Answer

Solution

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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