El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por
, el eje , el eje y la recta , alrededor del eje es:

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Jan 23,2025

Question

El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por $$ y=2 x^{2}+x^{2} $$, el eje $$ X $$, el eje $$ Y $$ y la recta $$ x=3 $$, alrededor del eje $$ X $$ es:

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Para calcular el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por $$ y = 3x^2 $$ (ya que $$ y = 2x^2 + x^2 = 3x^2 $$), el eje $$ X $$, el eje $$ Y $$ y la recta $$ x = 3 $$, alrededor del eje $$ X $$, utilizamos el método de discos.

La fórmula para el volumen $$ V $$ es:

$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
$$

Donde:
- $$ f(x) = 3x^2 $$
- Los límites de integración son $$ a = 0 $$ y $$ b = 3 $$.

Sustituyendo en la fórmula:

$$
V = \pi \int_{0}^{3} (3x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{3} 9x^4 \, dx
$$

Integrando:

$$
V = 9\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} = 9\pi \left( \frac{3^5}{5} - 0 \right) = 9\pi \left( \frac{243}{5} \right) = \frac{2187\pi}{5}
$$

**Resultado final:**

$$
V = \frac{2187\,\pi}{5}
$$
El volumen del sólido de revolución es $$ \frac{2187\,\pi}{5} $$.

El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por
, el eje , el eje y la recta , alrededor del eje es:

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