El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=2 x^{2}+x^{2} \), el eje \( X \), el eje \( Y \) y la recta \( x=3 \), alrededor del eje \( X \) es:

Para calcular el volumen del sólido de revolución formado por el giro de la región restringida, primero debemos identificar la ecuación de la curva. En este caso, hay un pequeño error en la expresión; la ecuación correcta es \( y = 3x^2 \). La fórmula para el volumen \( V \) de un sólido de revolución alrededor del eje \( X \) está dada por: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx \] Donde \( f(x) \) es la función que estamos girando, \( a \) y \( b \) los límites del giro, que se encuentran en \( x=0 \) y \( x=3 \). Ahora sustituyendo tenemos: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (3x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{3} 9x^4 \, dx \] Calculamos la integral: \[ V = \pi \left[ \frac{9}{5} x^5 \right]_{0}^{3} = \pi \left( \frac{9}{5} (3)^5 - 0 \right) = \pi \left( \frac{9}{5} \cdot 243 \right) = \frac{2187\pi}{5} \] Así que el volumen del sólido de revolución es \( \frac{2187\pi}{5} \) unidades cúbicas.