$$ \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { [ \sqrt[ 3 ] { n } + ( - 1 ) ^ { n } ] ^ { \alpha } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим ряд

$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{[\sqrt[3]{n} + (-1)^n]^\alpha}.
$$

Для анализа сходимости этого ряда можно использовать критерий Лейбница для знакопеременных рядов. Этот критерий утверждает, что ряд $$\sum (-1)^n a_n$$ сходится, если:

1. $$a_n \geq 0$$ для всех $$n$$,
2. $$a_n$$ монотонно убывает,
3. $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$.

В нашем случае, $$a_n = \frac{1}{[\sqrt[3]{n} + (-1)^n]^\alpha}$$.

### 1. Положительность $$a_n$$

Для $$n$$ четных ($$n = 2k$$):

$$
a_n = \frac{1}{[\sqrt[3]{2k} + 1]^\alpha} > 0.
$$

Для $$n$$ нечетных ($$n = 2k + 1$$):

$$
a_n = \frac{1}{[\sqrt[3]{2k + 1} - 1]^\alpha} > 0 \quad \text{(при достаточно больших $$k$$)}.
$$

Таким образом, $$a_n > 0$$ для всех $$n$$ достаточно больших.

### 2. Монотонность $$a_n$$

Теперь проверим, убывает ли последовательность $$a_n$$. Для этого рассмотрим $$a_n$$ для больших $$n$$:

$$
\sqrt[3]{n} \to \infty \quad \text{при } n \to \infty.
$$

Таким образом,

$$
\sqrt[3]{n} + (-1)^n \sim \sqrt[3]{n} \quad \text{(для больших $$n$$)}.
$$

Следовательно,

$$
a_n \sim \frac{1}{(\sqrt[3]{n})^\alpha} = n^{-\alpha/3}.
$$

Поскольку $$n^{-\alpha/3}$$ убывает для $$\alpha > 0$$, то $$a_n$$ также убывает.

### 3. Предел $$a_n$$

Теперь найдем предел:

$$
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{[\sqrt[3]{n} + (-1)^n]^\alpha} = 0.
$$

### Заключение

Таким образом, все условия критерия Лейбница выполнены, и ряд

$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{[\sqrt[3]{n} + (-1)^n]^\alpha}
$$

сходится для $$\alpha > 0$$.
Ряд $$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{[\sqrt[3]{n} + (-1)^n]^\alpha} $$ сходится для $$\alpha > 0$$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions