uelva la ecuación diferencial $$ x \frac{d y}{d x}-5 y=x^{2} $$. Seleccione la solución general:

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Para resolver la ecuación diferencial $$ x \frac{d y}{d x} - 5 y = x^{2} $$, seguimos estos pasos:

1. **Reescribir la ecuación en forma estándar:**
   
   Dividimos ambos lados de la ecuación por $$ x $$ (asumiendo $$ x \neq 0 $$):
   $$
   \frac{d y}{d x} - \frac{5}{x} y = x
   $$
   
   Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma:
   $$
   \frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)
   $$
   donde $$ P(x) = -\frac{5}{x} $$ y $$ Q(x) = x $$.

2. **Encontrar el factor integrante ($$ \mu(x) $$):**
   
   $$
   \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{5}{x} \, dx} = e^{-5 \ln |x|} = x^{-5}
   $$

3. **Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante:**
   
   $$
   x^{-5} \frac{d y}{d x} - \frac{5}{x} x^{-5} y = x^{-4}
   $$
   
   Esto simplifica a:
   $$
   \frac{d}{d x} \left( x^{-5} y \right) = x^{-4}
   $$

4. **Integrar ambos lados:**
   
   $$
   \int \frac{d}{d x} \left( x^{-5} y \right) \, dx = \int x^{-4} \, dx
   $$
   
   $$
   x^{-5} y = -\frac{1}{3} x^{-3} + C
   $$
   donde $$ C $$ es la constante de integración.

5. **Despejar $$ y $$:**
   
   $$
   y = x^{5} \left( -\frac{1}{3} x^{-3} + C \right) = -\frac{1}{3} x^{2} + C x^{5}
   $$

**Solución general:**
$$
y(x) = -\frac{1}{3} x^{2} + C x^{5}
$$
donde $$ C $$ es una constante arbitraria.
La solución general de la ecuación diferencial $$ x \frac{d y}{d x} - 5 y = x^{2} $$ es: $$ y(x) = -\frac{1}{3} x^{2} + C x^{5} $$ donde $$ C $$ es una constante arbitraria.

uelva la ecuación diferencial . Seleccione la solución general:

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