Esercizio 1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy $$ \begin{aligned} y^{\prime}+\frac{1}{x} y & =\exp \left(2 x^{2}\right) \ y(1) & =\frac{1}{6}\end{aligned} $$ [Punteggio: 5 punti]

Question

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Per risolvere il problema di Cauchy dato:

$$
\begin{aligned}
y' + \frac{1}{x} y &= e^{2x^{2}} \
y(1) &= \frac{1}{6}
\end{aligned}
$$

seguiamo i passaggi per equazioni lineari del primo ordine.

1. **Fattore Integrante**:
   Calcoliamo il fattore integrante $$\mu(x)$$:

$$
   \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x
   $$

2. **Moltiplichiamo l'equazione per $$\mu(x)$$**:

$$
   x y' + y = x e^{2x^{2}}
   $$

Il lato sinistro diventa la derivata del prodotto $$x y$$:

$$
   \frac{d}{dx}(x y) = x e^{2x^{2}}
   $$

3. **Integrazione**:

Integrando entrambi i lati:

$$
   x y = \int x e^{2x^{2}} dx + C
   $$

Poniamo $$u = 2x^{2}$$, quindi $$du = 4x dx$$ e:

$$
   \int x e^{2x^{2}} dx = \frac{1}{4} e^{2x^{2}} + C
   $$

Pertanto:

$$
   y = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{C}{x}
   $$

4. **Condizione Iniziale**:

Applichiamo $$y(1) = \frac{1}{6}$$:

$$
   \frac{1}{6} = \frac{e^{2}}{4} + C
   $$

Risolvendo per $$C$$:

$$
   C = \frac{1}{6} - \frac{e^{2}}{4}
   $$

5. **Soluzione Finale**:

Pertanto, la soluzione del problema di Cauchy è:

$$
   y(x) = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{1}{6x} - \frac{e^{2}}{4x}
   $$

**Risposta Finale**:

La soluzione è uguale a (e²ˣ²)/(4 x) più (1⁄6 – e²⁄4) diviso x. In formule,

y(x) = e^{2x²}/(4x) + (1/6 − e²/4)/x
La soluzione del problema di Cauchy è: $$ y(x) = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{1}{6x} - \frac{e^{2}}{4x} $$

Esercizio 1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy

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