Determine si los siguientes limites existen
a.
b. Si

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Mar 28,2025

Question

Determine si los siguientes limites existen a. $$ \lim _{x ightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1} $$ b. Si $$ f(x)=f(x)=\left\{\begin{array}{r}x^{2}+1, x<1 \ 2 x^{2}-x,\end{array}ight) x \geq 1 $$

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**a. Evaluación de** $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1} $$

1. Para $$ x > 1 $$:
   - Se tiene que $$ |x-1| = x-1 $$.
   - Entonces, la función se simplifica a:
     $$
     \frac{|x-1|}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.
     $$
   - Por lo tanto, cuando $$ x $$ se aproxima a 1 por la derecha, el límite es 1.

2. Para $$ x < 1 $$:
   - En este caso, $$ |x-1| = -(x-1) $$ porque $$ x-1 $$ es negativo.
   - La función se transforma en:
     $$
     \frac{|x-1|}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1.
     $$
   - Así, cuando $$ x $$ se aproxima a 1 por la izquierda, el límite es -1.

Como los límites laterales no coinciden ($$ 1 \neq -1 $$), concluimos que:

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1} \quad \textbf{no existe}.
$$

---

**b. Evaluación del límite de**

$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2+1, & \text{si } x<1, \
2x^2-x, & \text{si } x\geq1.
\end{cases}
$$

Se evalúa el límite en $$ x=1 $$.

1. Límite por la izquierda ($$ x\to1^- $$):
   - Para $$ x<1 $$, $$ f(x)=x^2+1 $$.
   - Entonces:
     $$
     \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=1^2+1=2.
     $$

2. Límite por la derecha ($$ x\to1^+ $$):
   - Para $$ x\geq1 $$, $$ f(x)=2x^2-x $$.
   - Así:
     $$
     \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=2\cdot1^2-1=2-1=1.
     $$

Debido a que los límites laterales son diferentes ($$ 2 \neq 1 $$), concluimos que:

$$
\lim_{x \rightarrow 1} f(x) \quad \textbf{no existe}.
$$
**a.** El límite $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1} $$ **no existe** porque los límites laterales son diferentes. **b.** El límite $$ \lim_{x \rightarrow 1} f(x) $$ **no existe** para la función $$ f(x) $$ definida por casos, ya que los límites laterales son diferentes.

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