4. La solución de la integral $$ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x} ight)^{2}} d x $$ es: $$ \begin{array}{l} ext { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}} ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}} ight|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}} ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}} ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { 5. En el proceso de respiración humana el gasto de aire } \ \left(G_{A} ight) ext { hacia los pulmones es la variación del volumen } \ (V ext { en litros) de aire inhalado respecto al tiempo }(t \ ext { en segundos) y se modela con la representación } \ \qquad G_{A}=0.5 ext { sen }\left(\frac{2 \pi}{5} t ight) \ ext { Entonces la función que modela el volumen } V ext { res- } \ ext { pecto al tiempo }(t) ext { es: } \ ext { a) } \frac{5}{2 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} t ight) ight] ext { c) } \frac{5}{4 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} t ight) ight] \ ext { b) } \frac{5}{\pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} t ight) ight] ext { d) } \frac{5}{2 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{4 \pi}{5} t ight) ight]\end{array} $$

Question

4. La solución de la integral $$ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}ight)^{2}} d x $$ es: $$ \begin{array}{l}	ext { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}ight|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}}ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { 5. En el proceso de respiración humana el gasto de aire } \ \left(G_{A}ight) 	ext { hacia los pulmones es la variación del volumen } \ (V 	ext { en litros) de aire inhalado respecto al tiempo }(t \ 	ext { en segundos) y se modela con la representación } \ \qquad G_{A}=0.5 	ext { sen }\left(\frac{2 \pi}{5} tight) \ 	ext { Entonces la función que modela el volumen } V 	ext { res- } \ 	ext { pecto al tiempo }(t) 	ext { es: } \ 	ext { a) } \frac{5}{2 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} tight)ight] 	ext { c) } \frac{5}{4 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} tight)ight] \ 	ext { b) } \frac{5}{\pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} tight)ight] 	ext { d) } \frac{5}{2 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{4 \pi}{5} tight)ight]\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**Pregunta 4:**

La integral dada es:

$$
\int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} \, dx
$$

Resolviendo la integral mediante sustitución, podemos llegar a la siguiente solución:

$$
\ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right| + \frac{1}{x e^{x} +1} + C
$$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

**d)**
$$
\ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right| + \frac{1}{x e^{x} +1} + C
$$

---

**Pregunta 5:**

Se nos da que el gasto de aire hacia los pulmones está modelado por:

$$
G_{A} = 0.5 \sin\left(\frac{2\pi}{5} t\right)
$$

Para encontrar la función del volumen $$ V(t) $$, integramos $$ G_{A} $$ respecto al tiempo $$ t $$:

$$
V(t) = \int G_{A} \, dt = \int 0.5 \sin\left(\frac{2\pi}{5} t\right) \, dt
$$

$$
V(t) = -\frac{5}{4\pi} \cos\left(\frac{2\pi}{5} t\right) + C
$$

Para expresar el volumen en términos de una función sinusoidal estándar y absorber la constante de integración $$ C $$, obtenemos:

$$
V(t) = \frac{5}{4\pi} \left[1 - \cos\left(\frac{2\pi}{5} t\right)\right] + C
$$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

**c)**
$$
\frac{5}{4 \pi}\left[1 - \cos \left(\frac{2 \pi}{5} t\right)\right]
$$
**Respuestas Simplificadas:** 4. **a)** $$ \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}\right| + \frac{1}{x e^{x}+1} + C $$ 5. **c)** $$ \frac{5}{4 \pi}\left[1 - \cos \left(\frac{2 \pi}{5} t\right)\right] $$

La solución de la integral es:
$ó ó ó ó$

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La solución de la integral es: óóóó