Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado
3) en

Ask by Fuentes Adkins. in Colombia

Jan 21,2025

Question

Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado 3) $$ f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x} $$ en $$ [0,3] $$

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Para hallar el **valor promedio** de la función $$ f(x) = \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} $$ en el intervalo $$[0, 3]$$, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Fórmula del Valor Promedio

El valor promedio $$ f_{\text{promedio}} $$ de una función $$ f(x) $$ en el intervalo $$[a, b]$$ se calcula mediante:

$$
f_{\text{promedio}} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$

### 2. Aplicando la Fórmula

Para nuestra función y intervalo específicos:

$$
f_{\text{promedio}} = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx
$$

### 3. Calculando la Integral

Primero, simplificamos la integral:

$$
\int \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = \int x^{2} e^{x} \, dx + 2 \int x e^{x} \, dx
$$

#### a. Integral de $$ x e^{x} $$

Usando **integración por partes**:

$$
\int x e^{x} \, dx = e^{x} (x - 1) + C
$$

#### b. Integral de $$ x^{2} e^{x} $$

Aplicamos integración por partes dos veces:

1. **Primera integración por partes:**
   - $$ u = x^{2} $$ ⇒ $$ du = 2x \, dx $$
   - $$ dv = e^{x} \, dx $$ ⇒ $$ v = e^{x} $$

Entonces:

$$
   \int x^{2} e^{x} \, dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} \, dx
   $$

2. **Segunda integración por partes ($$ \int 2x e^{x} \, dx $$):**
   - Ya sabemos que $$ \int x e^{x} \, dx = e^{x} (x - 1) + C $$, por lo que:

$$
   \int 2x e^{x} \, dx = 2 e^{x} (x - 1) + C
   $$

Sustituyendo de vuelta:

$$
   \int x^{2} e^{x} \, dx = x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1) + C = e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + C
   $$

#### c. Sumando las Integrales

$$
\int \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + 2 e^{x} (x - 1) + C
$$
$$
= e^{x} (x^{2} - 2x + 2 + 2x - 2) + C = e^{x} x^{2} + C
$$

Por lo tanto:

$$
\int_{0}^{3} \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = \left[ x^{2} e^{x} \right]_{0}^{3} = 3^{2} e^{3} - 0^{2} e^{0} = 9 e^{3}
$$

### 4. Calculando el Valor Promedio

Finalmente:

$$
f_{\text{promedio}} = \frac{1}{3} \times 9 e^{3} = 3 e^{3}
$$

### **Respuesta Final**

El valor promedio de la función $$ f(x) = \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} $$ en el intervalo $$[0, 3]$$ es:

$$
f_{\text{promedio}} = 3 e^{3}
$$
El valor promedio de la función $$ f(x) = \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} $$ en el intervalo $$[0, 3]$$ es $$ 3 e^{3} $$.

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