Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado 3) \( f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x} \) en \( [0,3] \)

Para hallar el **valor promedio** de la función \( f(x) = \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \) en el intervalo \([0, 3]\), seguimos los siguientes pasos: ### 1. Fórmula del Valor Promedio El valor promedio \( f_{\text{promedio}} \) de una función \( f(x) \) en el intervalo \([a, b]\) se calcula mediante: \[ f_{\text{promedio}} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] ### 2. Aplicando la Fórmula Para nuestra función y intervalo específicos: \[ f_{\text{promedio}} = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx \] ### 3. Calculando la Integral Primero, simplificamos la integral: \[ \int \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = \int x^{2} e^{x} \, dx + 2 \int x e^{x} \, dx \] #### a. Integral de \( x e^{x} \) Usando **integración por partes**: \[ \int x e^{x} \, dx = e^{x} (x - 1) + C \] #### b. Integral de \( x^{2} e^{x} \) Aplicamos integración por partes dos veces: 1. **Primera integración por partes:** - \( u = x^{2} \) ⇒ \( du = 2x \, dx \) - \( dv = e^{x} \, dx \) ⇒ \( v = e^{x} \) Entonces: \[ \int x^{2} e^{x} \, dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} \, dx \] 2. **Segunda integración por partes (\( \int 2x e^{x} \, dx \)):** - Ya sabemos que \( \int x e^{x} \, dx = e^{x} (x - 1) + C \), por lo que: \[ \int 2x e^{x} \, dx = 2 e^{x} (x - 1) + C \] Sustituyendo de vuelta: \[ \int x^{2} e^{x} \, dx = x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1) + C = e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + C \] #### c. Sumando las Integrales \[ \int \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + 2 e^{x} (x - 1) + C \] \[ = e^{x} (x^{2} - 2x + 2 + 2x - 2) + C = e^{x} x^{2} + C \] Por lo tanto: \[ \int_{0}^{3} \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \, dx = \left[ x^{2} e^{x} \right]_{0}^{3} = 3^{2} e^{3} - 0^{2} e^{0} = 9 e^{3} \] ### 4. Calculando el Valor Promedio Finalmente: \[ f_{\text{promedio}} = \frac{1}{3} \times 9 e^{3} = 3 e^{3} \] ### **Respuesta Final** El valor promedio de la función \( f(x) = \left(x^{2} + 2x\right) e^{x} \) en el intervalo \([0, 3]\) es: \[ f_{\text{promedio}} = 3 e^{3} \]