Determine la derivada de la función en el punto dado, en la dirección del vecte \( v \). \( f(x, y)=1+2 x \sqrt{y}, \quad(3,4), \quad v=\langle 4,3\rangle \)

Para calcular la derivada direccional de la función \( f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} \) en el punto \( (3, 4) \) en la dirección del vector \( v = \langle 4, 3 \rangle \), primero se debe normalizar el vector \( v \). La magnitud de \( v \) es \( \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \). Por lo tanto, el vector unitario \( u \) en la dirección de \( v \) es \( u = \left\langle \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right\rangle \). Ahora, se calculan las derivadas parciales de \( f \): 1. La derivada parcial con respecto a \( x \): \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(1 + 2x\sqrt{y}) = 2\sqrt{y} \] Evaluando en \( (3, 4) \): \[ f_x(3, 4) = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4 \] 2. La derivada parcial con respecto a \( y \): \[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(1 + 2x\sqrt{y}) = 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{y}} \] Evaluando en \( (3, 4) \): \[ f_y(3, 4) = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \] Ahora, se forman el gradiente: \[ \nabla f(3, 4) = \langle f_x(3, 4), f_y(3, 4) \rangle = \langle 4, \frac{3}{2} \rangle \] Finalmente, la derivada direccional \( D_u f(3, 4) \) se obtiene mediante el producto punto entre el gradiente y el vector unitario: \[ D_u f(3, 4) = \nabla f(3, 4) \cdot u = \langle 4, \frac{3}{2} \rangle \cdot \left\langle \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right\rangle = 4 \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} \] Calculando cada término: \[ = \frac{16}{5} + \frac{9}{10} = \frac{16}{5} + \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{16}{5} + \frac{18}{20} = \frac{16 \cdot 4}{20} + \frac{18}{20} = \frac{64 + 18}{20} = \frac{82}{20} = \frac{41}{10} \] Por lo tanto, la derivada direccional de \( f \) en el punto \( (3, 4) \) en la dirección del vector \( v \) es \( \frac{41}{10} \).