Determine la derivada de la función en el punto dado, en la dirección del vecte
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Dec 18,2024

Question

Determine la derivada de la función en el punto dado, en la dirección del vecte $$ v $$. $$ f(x, y)=1+2 x \sqrt{y}, \quad(3,4), \quad v=\langle 4,3\rangle $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar la derivada direccional de la función $$ f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} $$ en el punto $$(3,4)$$ en la dirección del vector $$ v = \langle 4, 3 \rangle $$, seguiremos estos pasos:

1. **Calcular el gradiente de $$ f $$:**

El gradiente de $$ f $$ es un vector que contiene las derivadas parciales de $$ f $$ respecto a $$ x $$ e $$ y $$.

$$
   \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)
   $$

- **Derivada parcial respecto a $$ x $$:**

$$
     \frac{\partial f}{\partial x} = 2\sqrt{y}
     $$

- **Derivada parcial respecto a $$ y $$:**

$$
     \frac{\partial f}{\partial y} = 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{y}}
     $$

Evaluando en el punto $$(3,4)$$:

$$
   \nabla f(3,4) = \left( 2\sqrt{4}, \frac{3}{\sqrt{4}} \right) = \left( 4, \frac{3}{2} \right)
   $$

2. **Normalizar el vector de dirección $$ v $$:**

Para obtener el vector unitario en la dirección de $$ v $$:

$$
   \|v\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
   $$

$$
   \mathbf{u} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
   $$

3. **Calcular la derivada direccional:**

La derivada direccional $$ D_v f $$ se obtiene como el producto punto del gradiente y el vector unitario:

$$
   D_v f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \left( 4, \frac{3}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
   $$

$$
   D_v f = 4 \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{5} + \frac{9}{10} = \frac{32}{10} + \frac{9}{10} = \frac{41}{10} = 4.1
   $$

**Respuesta Final:**

La derivada direccional de $$ f $$ en el punto $$(3,4)$$ en la dirección de $$ v $$ es $$ \frac{41}{10} $$ o $$ 4.1 $$.
La derivada direccional de la función en el punto $$(3,4)$$ en la dirección del vector $$ v = \langle 4, 3 \rangle $$ es $$ 4.1 $$.

Determine la derivada de la función en el punto dado, en la dirección del vecte
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