17. Demuestra la siguiente igualdad: \( \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x=\ln \left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)+C \)

Para demostrar la igualdad \( \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x=\ln \left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)+C \), procederemos de la siguiente manera: 1. **Expresión de \(\operatorname{sen} x\) en términos de \(\cos x\)**: Recordemos que \(\operatorname{sen} x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Por lo tanto, podemos escribir: \[ \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x = \int \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} d x = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x \] 2. **Uso de la regla de integración por partes**: Aplicamos la regla de integración por partes, que es: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] En este caso, elegimos \( u = \cos x \) y \( dv = \frac{1}{\sin x} d x \). Entonces, \( du = -\sin x \, dx \) y \( v = \ln |\sin x| \). 3. **Aplicación de la regla de integración por partes**: \[ \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \cos x \ln |\sin x| - \int \ln |\sin x| (-\sin x) d x \] Simplificamos: \[ = \cos x \ln |\sin x| + \int \ln |\sin x| \sin x d x \] 4. **Uso de la fórmula de la integral de \(\ln |\sin x|\)**: Recordemos que: \[ \int \ln |\sin x| \sin x d x = \frac{1}{2} \left( \ln^2 |\sin x| \right) + C \] Aplicamos esta fórmula a nuestra integral: \[ \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \cos x \ln |\sin x| + \frac{1}{2} \left( \ln^2 |\sin x| \right) + C \] 5. **Simplificación final**: Usamos la identidad \( \ln |\sin x| = \ln \left| \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right| \) para simplificar la expresión: \[ \cos x \ln |\sin x| + \frac{1}{2} \left( \ln^2 |\sin x| \right) + C = \ln \left| \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right| + C \] Finalmente, debido a que \(\operatorname{sen} x\) es positiva en el intervalo de integración, podemos omitir los corchetes: \[ \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x = \ln \left( \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right) + C \] Y así hemos demostrado la igualdad.