17. Demuestra la siguiente igualdad: $$ \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x=\ln \left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)+C $$

Question

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Para demostrar la igualdad $$ \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x=\ln \left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)+C $$, procederemos de la siguiente manera:

1. **Expresión de $$\operatorname{sen} x$$ en términos de $$\cos x$$**:
   Recordemos que $$\operatorname{sen} x = \frac{\sin x}{\cos x}$$. Por lo tanto, podemos escribir:
   $$
   \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x = \int \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} d x = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x
   $$

2. **Uso de la regla de integración por partes**:
   Aplicamos la regla de integración por partes, que es:
   $$
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   $$
   En este caso, elegimos $$ u = \cos x $$ y $$ dv = \frac{1}{\sin x} d x $$. Entonces, $$ du = -\sin x \, dx $$ y $$ v = \ln |\sin x| $$.

3. **Aplicación de la regla de integración por partes**:
   $$
   \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \cos x \ln |\sin x| - \int \ln |\sin x| (-\sin x) d x
   $$
   Simplificamos:
   $$
   = \cos x \ln |\sin x| + \int \ln |\sin x| \sin x d x
   $$

4. **Uso de la fórmula de la integral de $$\ln |\sin x|$$**:
   Recordemos que:
   $$
   \int \ln |\sin x| \sin x d x = \frac{1}{2} \left( \ln^2 |\sin x| \right) + C
   $$
   Aplicamos esta fórmula a nuestra integral:
   $$
   \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \cos x \ln |\sin x| + \frac{1}{2} \left( \ln^2 |\sin x| \right) + C
   $$

5. **Simplificación final**:
   Usamos la identidad $$ \ln |\sin x| = \ln \left| \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right| $$ para simplificar la expresión:
   $$
   \cos x \ln |\sin x| + \frac{1}{2} \left( \ln^2 |\sin x| \right) + C = \ln \left| \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right| + C
   $$
   Finalmente, debido a que $$\operatorname{sen} x$$ es positiva en el intervalo de integración, podemos omitir los corchetes:
   $$
   \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x = \ln \left( \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right) + C
   $$

Y así hemos demostrado la igualdad.
Para demostrar la igualdad $$ \int \frac{1}{\operatorname{sen} x} d x=\ln \left(\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)+C $$, se utiliza la regla de integración por partes y la fórmula de la integral de $$\ln |\sin x|$$. Finalmente, se simplifica utilizando la identidad $$ \ln |\sin x| = \ln \left| \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} \right| $$.

Demuestra la siguiente igualdad:

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