I) Hallar una función \( f \) un numero \( a \) tal que \( \begin{array}{l}\text { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81\end{array} \)

Para resolver el problema: **b) Encontrar una función \( f \) y un número \( a \) tal que** \[ \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = x^{2} - 81 \] **Paso 1: Diferenciar ambos lados con respecto a \( x \).** Aplicando el teorema fundamental del cálculo, tenemos: \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt \right) = \frac{d}{dx} (x^{2} - 81) \] \[ \frac{2x^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = 2x \] \[ \frac{4x^{2}}{(f(2x))^{3}} = 2x \] **Paso 2: Resolver para \( f(2x) \).** \[ \frac{4x^{2}}{2x} = (f(2x))^{3} \] \[ 2x = (f(2x))^{3} \] \[ f(2x) = \sqrt[3]{2x} \] Por lo tanto, la función \( f(t) \) es: \[ f(t) = \sqrt[3]{2t} \] **Paso 3: Determinar el valor de \( a \).** Cuando \( x = 0 \): \[ \int_{a}^{0} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = 0^{2} - 81 = -81 \] Sustituyendo \( f(t) = \sqrt[3]{2t} \): \[ \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} = \frac{t^{2}}{2t} = \frac{t}{2} \] Entonces: \[ \int_{a}^{0} \frac{t}{2} \, dt = \left[ \frac{t^{2}}{4} \right]_{a}^{0} = \frac{0^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4} = -\frac{a^{2}}{4} = -81 \] Resolviendo para \( a \): \[ \frac{a^{2}}{4} = 81 \quad \Rightarrow \quad a^{2} = 324 \quad \Rightarrow \quad a = 18 \quad (\text{considerando que } a > 0) \] **Respuesta Final:** \[ f(t) = \sqrt[3]{2\, t} \quad \text{y} \quad a = 18 \]