I) Hallar una función $$ f $$ un numero $$ a $$ tal que $$ \begin{array}{l} ext { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81\end{array} $$

Question

I) Hallar una función $$ f $$ un numero $$ a $$ tal que $$ \begin{array}{l}	ext { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81\end{array} $$

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Para resolver el problema:

**b) Encontrar una función $$ f $$ y un número $$ a $$ tal que**
$$
\int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = x^{2} - 81
$$

**Paso 1: Diferenciar ambos lados con respecto a $$ x $$.**

Aplicando el teorema fundamental del cálculo, tenemos:
$$
\frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt \right) = \frac{d}{dx} (x^{2} - 81)
$$
$$
\frac{2x^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = 2x
$$
$$
\frac{4x^{2}}{(f(2x))^{3}} = 2x
$$

**Paso 2: Resolver para $$ f(2x) $$.**
$$
\frac{4x^{2}}{2x} = (f(2x))^{3}
$$
$$
2x = (f(2x))^{3}
$$
$$
f(2x) = \sqrt[3]{2x}
$$

Por lo tanto, la función $$ f(t) $$ es:
$$
f(t) = \sqrt[3]{2t}
$$

**Paso 3: Determinar el valor de $$ a $$.**

Cuando $$ x = 0 $$:
$$
\int_{a}^{0} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = 0^{2} - 81 = -81
$$
Sustituyendo $$ f(t) = \sqrt[3]{2t} $$:
$$
\frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} = \frac{t^{2}}{2t} = \frac{t}{2}
$$
Entonces:
$$
\int_{a}^{0} \frac{t}{2} \, dt = \left[ \frac{t^{2}}{4} \right]_{a}^{0} = \frac{0^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4} = -\frac{a^{2}}{4} = -81
$$
Resolviendo para $$ a $$:
$$
\frac{a^{2}}{4} = 81 \quad \Rightarrow \quad a^{2} = 324 \quad \Rightarrow \quad a = 18 \quad (\text{considerando que } a > 0)
$$

**Respuesta Final:**
$$
f(t) = \sqrt[3]{2\, t} \quad \text{y} \quad a = 18
$$
Para resolver la ecuación: $$ \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = x^{2} - 81 $$ se encuentra que la función $$ f(t) $$ es $$ \sqrt[3]{2t} $$ y el número $$ a $$ es 18.

I) Hallar una función un numero tal que

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