Esercizio 2. Si consideri il campo scalare $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{5\left(x^{2}+6 y^{2}\right) \sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. $$ 1. Il campo $$ f $$ è continuo in $$ (0,0) $$ ? 2. Calcolare $$ \nabla f(0,0) $$. 3. Il campo $$ f $$ è differenziabile in $$ (0,0) $$ ?

Question

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Certamente! Analizziamo ciascuno dei tre punti dell'esercizio.

### 1. Continuità del campo $$ f $$ in $$ (0,0) $$

Per verificare la continuità di $$ f $$ in $$ (0,0) $$, dobbiamo calcolare il limite di $$ f(x, y) $$ quando $$ (x, y) $$ tende a $$ (0,0) $$ e confrontarlo con il valore di $$ f(0,0) $$.

**Calcolo del limite:**

Espressiamo $$ f(x, y) $$ in coordinate polari, dove $$ x = r \cos\theta $$ e $$ y = r \sin\theta $$. Allora abbiamo:

$$
f(r, \theta) = \frac{5(r^2 (\cos^2\theta + 6\sin^2\theta)) \sin(r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta))}{3r^2} = \frac{5(\cos^2\theta + 6\sin^2\theta) \sin(r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta))}{3}
$$

Per $$ r \to 0 $$, possiamo approssimare $$ \sin(r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta)) \approx r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta) $$. Pertanto:

$$
f(r, \theta) \approx \frac{5(\cos^2\theta + 6\sin^2\theta) \cdot r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{3} \to 0 \quad \text{quando} \quad r \to 0
$$

**Conclusione:**

Poiché il limite di $$ f(x, y) $$ tende a 0, che è esattamente il valore di $$ f(0,0) $$, il campo $$ f $$ è **continuo** in $$ (0,0) $$.

### 2. Calcolo di $$ \nabla f(0,0) $$

Il gradiente di $$ f $$ in $$ (0,0) $$ è dato da:

$$
\nabla f(0,0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \right)
$$

Calcoliamo ciascuna derivata parziale separatamente.

**Derivata parziale rispetto ad $$ x $$:**

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h}
$$

Calcoliamo $$ f(h, 0) $$:

$$
f(h, 0) = \frac{5(h^2 + 0) \sin(h^2 - 0)}{3(h^2 + 0)} = \frac{5 \sin(h^2)}{3}
$$

Pertanto:

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{5 \sin(h^2)/3}{h} = \frac{5}{3} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^2)}{h} = 0
$$

**Derivata parziale rispetto ad $$ y $$:**

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0,0)}{k}
$$

Calcoliamo $$ f(0, k) $$:

$$
f(0, k) = \frac{5(0 + 6k^2) \sin(0 - k^2)}{3(0 + k^2)} = \frac{30 \sin(-k^2)}{3} = -10 \sin(k^2)
$$

Pertanto:

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{-10 \sin(k^2)}{k} = -10 \lim_{k \to 0} \frac{\sin(k^2)}{k} = 0
$$

**Conclusione:**

Il gradiente in $$ (0,0) $$ è:

$$
\nabla f(0,0) = (0, 0)
$$

### 3. Differenziabilità del campo $$ f $$ in $$ (0,0) $$

Per determinare se $$ f $$ è differenziabile in $$ (0,0) $$, dobbiamo verificare se:

$$
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - \nabla f(0,0) \cdot (h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0
$$

Dato che $$ f(0,0) = 0 $$ e $$ \nabla f(0,0) = (0,0) $$, il limite si riduce a:

$$
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0
$$

Usiamo nuovamente le coordinate polari. Abbiamo già trovato che:

$$
f(r, \theta) = \frac{5(\cos^2\theta + 6\sin^2\theta) \sin(r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta))}{3}
$$

Dividendo per $$ r $$:

$$
\frac{f(r, \theta)}{r} = \frac{5(\cos^2\theta + 6\sin^2\theta) \sin(r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta))}{3r}
$$

Per $$ r \to 0 $$, approssimiamo $$ \sin(r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta)) \approx r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta) $$, quindi:

$$
\frac{f(r, \theta)}{r} \approx \frac{5(\cos^2\theta + 6\sin^2\theta) \cdot r^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{3r} = \frac{5(\cos^2\theta + 6\sin^2\theta)(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{3} \cdot r \to 0 \quad \text{quando} \quad r \to 0
$$

**Conclusione:**

Poiché il limite tende a 0, il campo $$ f $$ è **differenziabile** in $$ (0,0) $$.

### Riepilogo

1. **Continuità**: $$ f $$ è continuo in $$ (0,0) $$.
2. **Gradiente**: $$ \nabla f(0,0) = (0, 0) $$.
3. **Differenziabilità**: $$ f $$ è differenziabile in $$ (0,0) $$.
Il campo $$ f $$ è continuo in $$ (0,0) $$, il gradiente in quel punto è $$ (0, 0) $$, e $$ f $$ è differenziabile in $$ (0,0) $$.

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